Fiche ultime sur le calcul d’intégrales

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Calcul d'intégrale

Le calcul d’intégrales, quelle plaie ! Tu as eu du mal à apprendre par coeur toutes les formules de dérivation et les domaines de dérivabilité. Tu pensais enfin en avoir fini avec tout cela et là ton prof de maths, te dit que tu vas attaquer un nouveau chapitre l’intégration… C’est reparti. Il faut tout réapprendre dans l’autre sens, car oui intégrer une fonction c’est plus ou moins l’inverse de la dériver. Il va donc falloir recommencer à apprendre des formules par coeur. Pour toutes les fonctions usuelles il te faudra connaitre les primitives usuelles et les domaines d’intégration. Il faudra aussi maîtriser les propriétés de l’intégrale et les astuces de calcul.

Heureusement Up2School est là pour t’aider !

Nous avons déjà publié un article sur les propriétés et définitions de base de l’intégration disponible ici. Assure toi de bien maîtriser toutes les notions qui y sont abordées avant de te lancer dans la lecture de cet article. Dans cet article, nous allons voir au travers d’exemple comment calculer des intégrales ! A la fin de ta lecture tu devrais donc être capable de calculer n’importe quelle intégrale.

Calcul d’intégrales de référence

Il faut obligatoirement connaître ces formules par coeur pour réussir le calcul d’intégrales. Voici pour commencer un tableau pour te rafraîchir la mémoire.

$$\begin{array}{|c|c|c|}
\hline \text { Fonction } & \text { Primitive } & \text { Intervalle } \\
\hline f(x)=a & F(x)=a x & \mathrm{R} \\
\hline f(x)=x & F(x)=\frac{x^{2}}{2} & \mathrm{R} \\
\hline f(x)=x^{n} & F(x)=\frac{x^{n+1}}{n+1} & \mathrm{R} \\
\hline f(x)=\frac{1}{x} & F(x)=\ln x & | 0 ;+\infty[ \\
\hline f(x)=\frac{1}{x^{n}} \quad n \neq 1 & F(x)=-\frac{1}{(n-1) x^{n-1}} & ]-\infty ; 0[\text { ou }] 0 ;+\infty[ \\
\hline f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}} & F(x)= 2 \sqrt{x} & \mathrm{R}_{+}^{*} \\
\hline f(x)=\sin x & F(x)=-\cos x & \mathrm{R} \\
\hline f(x)=\cos x & F(x)= \sin x & \mathrm{R} \\
\hline f(x)=e^{x} & F(x)=e^{x} & \mathrm{R} \\
\hline
\end{array}$$

Pour les intégrales les plus simples il suffit de se ramener à ce tableau en utilisant la linéarité de l’intégrale.

Exemple

$$\begin{array}{ll}
\int_{0}^{2} (3x^2+2) \, \mathrm{d}x & = 3\int_{0}^{2} x^2 \, \mathrm{d}x + 2 \int_{0}^{2} 1 \, \mathrm{d}x\\
& = 3 [\frac{1}{3}x^3]_0^2 + 2 [x]_0^2\\
& = (2^3-0^3)+2(2-0)\\
& = 8+4 \\
& = 12
\end{array}$$

Faire apparaître une fraction de la forme \frac{u'}{u}

C’est l’une des astuces à laquelle il faut penser ! Pour rappel si u est une fonction à valeurs positives alors (ln(u))'=\frac{u'}{u}. Cette formule est donc très utile pour le calcul d’intégrales puisqu’elle permet d’intégrer des fractions !

Par exemple : imaginons que l’on veuille calculer \int_{0}^{2} \frac{x}{x^2+1} \, \mathrm{d}x. On remarque que la dérivée de f(x)=x^2+1 est f(x)=2x. Il faut donc faire apparaitre 2x au numérateur :

$$\begin{array}{ll}
\int_{0}^{2} \frac{x}{x^2+1} \, \mathrm{d}x & = \frac{1}{2} \int_{0}^{2} \frac{2x}{x^2+1} \, \mathrm{d}x \\
& = \frac{1}{2} [ln(x^2+1)]_0^2 \\
& = \frac{1}{2} (ln(2^2+1)-ln(0^2+1))\\
& = \frac{1}{2} (ln(5)-ln(1))\\
& = \frac{ln(5)}{2}
\end{array}$$

Vérifier ses résultats

Quand tu fais des exercices sur les intégrales d’hésite pas à te rendre sur le site de wolfram alpha pour vérifier tes calculs. L’utilisation du logiciel de calcul est gratuit et te permet également de visualiser la fonction que tu intègres. C’est très utile pour la calcul d’intégrales.

Le site est disponible ici.

Voici comment remplir la ligne pour calculer l’intégrale de l’exemple : integrate x/(x^2+1) from 0 to 2

Wolfram alpha

Faire apparaître une fonction de la forme u'e^{u}

Si l’astuce marche avec la fonction logarithme, elle marche aussi avec la fonction exponentielle ! En effet, la dérivée du fonction du type e^{u} est (e^{u})'=u'e^{u}. Une astuce très utile dans le calcul d’intégrales.

Exemple si on veut calculer \int_{0}^{1} x^2e^{x^3+4} \, \mathrm{d}x. On remarque que la dérivée de f(x)=x^3+4 est f(x)=3x^2. Il faut donc faire apparaitre 3x^2 :

$$\begin{array}{ll}
\int_{0}^{1} x^2e^{x^3+4} \, \mathrm{d}x & = \frac{1}{3} \int_{0}^{1} 3x^2e^{x^3+4} \, \mathrm{d}x \\
& = \frac{1}{3} [e^{x^3+4}]_0^1 \\
& = \frac{1}{3} (e^{1^3+4}-e^{0^3+4})\\
& = \frac{1}{3} (e^5-e^4)
\end{array}$$

Utiliser la parité ou l’imparité d’une fonction

Pourquoi s’embêter avec le calcul d’intégrales quand on peut appliquer directement un résultat de cours !

Par exemple, si on veut calculer \int_{-1}^{1} x^3+4 \, \mathrm{d}x, comment fait-on? Et bien on peut appliquer la méthode 1, on utilise la linéarité de l’intégrale et on écrit \int_{-1}^{1} x^3+4x \, \mathrm{d}x= \int_{-1}^{1} x^3 \, \mathrm{d}x + 4 \int_{-1}^{1} x\, \mathrm{d}x, et on calcule en utilisant le tableau des primitives usuelles.

Mais on peut aller beaucoup plus vite, si on considère la fonction f définie par f(x)=x^3+4x, alors on remarque que f(-x)=(-x)^3+4(-x)=-(x^3+4x)=-f(x).

La fonction f est donc impaire et on sait par théorème que l’intégrale que l’on cherche à calculer est nulle. On laissera au lecteur le soin de le vérifier en terminant le calcul.

Cela se voit très bien graphiquement :

Intégrale d'une fonction impaire

Si on considère maintenant \int_{-1}^{1} x^2+4 \, \mathrm{d}x, alors en considérant la fonction f(x)=x^2+4 on remarque que la fonction f est paire c’est à dire que f(-x)=f(x).

Cela se voit très bien en regardant la courbe de la fonction

intégrable d'une fonction paire

Par théorème on sait que l’intégrale vaut \int_{-1}^{1} x^2+4 \, \mathrm{d}x = 2 \int_{0}^{1} x^2+4 \, \mathrm{d}x . Il ne reste qu’à calculer en appliquant la méthode 1 :

$$\begin{array}{ll}
\int_{-1}^{1} x^2+4 \, \mathrm{d}x & = 2 \int_{0}^{1} x^2+4 \, \mathrm{d}x \\
& = 2(\frac{1}{3} [x^3]_0^1+4[x]_0^1) \\
& = 2 (\frac{1}{3} +4)\\
& = \frac{26}{3}
\end{array}$$

Voilà qui conclut cette fiche de rappel sur le calcul d’intégrales. N’hésite pas à t’entraîner sur nos annales pour mettre en application tout ce que tu viens d’apprendre !

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