Tout savoir sur le cercle trigonométrique

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le cercle trigonométrique

Le chapitre sur les complexes est un bloc important du programme de terminale S et il est impossible de réussir un exercice sans savoir utiliser le cercle trigonométrique ! Up2School a donc décidé de vous rédiger cet article pour revoir ensemble tout ce qu’il y a à savoir. Le cercle trigonométrique permet de déterminer l’argument d’un nombre complexe. Si jamais tu as des doutes sur la notion d’argument ou sur les nombres complexes en générale, n’hésite pas à relire notre article disponible ICI.

Le cercle trigonométrique, kézako ?

Qu’est ce qu’est le cercle trigonométrique ? Comme son nom l’indique, le cercle trigonométrique est un cercle. C’est un cercle centré en 0 et de rayon 1. On trace souvent ce cercle dans le plan complexe, c’est-à-dire que l’axe des ordonnées correspond à la partie imaginaire.

On parle de cercle trigonométrique car on vient placer des angles sur le cercle !

Par conséquent, on obtient un cercle comme celui-là

Le cercle trigonométrique

Comment construire un cercle trigonométrique ?

Il est primordial de savoir tracer rapidement un cercle trigonométrique sur un brouillon.

Pour le construire, il faut comprendre le lien entre ce cercle et le sinus / le cosinus d’un angle. Considérons un point M sur le cercle, on forme ainsi un angle \alpha avec l’axe des abscisses. Maintenant, en revenant à la définition du cosinus et du sinus, on remarque qu’on retrouve ces valeurs sur le schéma suivant :

lecture sin et cos

On remarque donc sur cette figure qu’on peut :

  • lire le cosinus sur l’axe des abscisses
  • lire le sinus sur l’axe des ordonnées

C’est grâce à cela que l’on va construire le cercle. On commence par placer les angles très simples 0,\frac{\pi}{2}, \pi, \frac{3\pi}{2}.

On obtient la figure suivante :

debut cercle trigonométrique

On peut ensuite facilement placer les angles multiple de pi sur quatre. En effet, il suffit de tracer les bissectrices des sections actuelles. Sur une feuille à carreaux, il suffit de prendre la diagonale du carreau. On obtient :

Construction cercle trigonométrique

Enfin, on complète en utilisant les valeurs connue de sinus et cosinus qu’on vous rappelle ici :

$$\begin{array}{|l|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline \boldsymbol{x} \text { (en rad) } & 0 & \frac{\pi}{6} & \frac{\pi}{4} & \frac{\pi}{3} & \frac{\pi}{2} & \frac{2 \pi}{3} & \frac{3 \pi}{4} & \frac{5 \pi}{6} & \pi \\
\hline \sin x & 0 & \frac{1}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} & 1 & \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{1}{2} & 0 \\
\hline \cos x & 1 & \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{1}{2} & 0 & -\frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{2}}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} & -1 \\
\hline
\end{array}$$

On remarque que pour ces angles, il y a toujours une valeur, soit le cosinus soit le sinus qui est facile à placer sur l’axe correspond. Par exemple, pour \frac{\pi}{6} le sinus vaut un demi. On peut donc placer ce point puis tracer la droite parallèle à l’axe des abscisses passant par ce point, l’intersection de cette droite avec le cercle permet de placer le point. Voici ce que cela donne :

Placer un point sur le cercle trigonométrique

En faisant cela pour toutes les valeurs, on obtient le cercle trigonométrique complet !

Le cercle trigonométrique

Quel lien entre le cercle trigonométrique et les nombres complexes ?

Regarde cette vidéo avant de commencer, qui t’expliquera les formes trigonométriques (le cercle trigonométrique) et le lien avec les nombres complexes !

On a donc construit un cercle trigonométrique, mais à quoi cela sert-il ? Il sert principalement pour trouver l’argument d’un nombre complexe.

Pour rappel l’argument d’un complexe c’est l’angle qu’il forme avec l’axe des abscisses, qui est représenté par theta sur la figure suivante :

L'argument d'un complexe

Considérons le nombre complexe, écrit sous forme algébrique z=2+2i.

Il faut ensuite le mettre sous forme trigonométrique ou exponentielle. On peut déterminer le module puis l’argument.

On a |z|=\sqrt{2^2+2^2}= \sqrt{8} = 2 \sqrt{2}

Pour trouver l’argument on peut utiliser plusieurs techniques :

  • on factorise par le module. Ce qui donne z= 2\sqrt{2}(\frac{1}{\sqrt{2}}+ i \frac{1}{\sqrt{2}}). On cherche alors un angle tel que \cos(\theta) = \frac{\sqrt{2}}{2} et \sin(\theta) = \frac{\sqrt{2}}{2}. Le tableau ou le cercle nous permettent de trouver \theta= \frac{\pi}{4}.
  • Ensuite, on utilise la formule avec l’arctangente. $$\theta = arctan(\frac{2}{2})= \arctan(1) = \frac{\pi}{4}$$
  • on trace le cercle trigonométrique, on place le point et on lit l’angle (cette méthode permet de trouver graphiquement l’angle mais ne justifie pas la réponse ! )

L'argument d'un complexe

On obtient donc l’écriture trigonométrique suivante : $$ z=2 \sqrt{2}(\cos(\frac{\pi}{4})+ i \sin(\frac{\pi}{4}))$$

Et l’écriture exponentielle :

$$z=2 \sqrt{2} e^{i \frac{\pi}{4}}$$

Voilà qui conclut cette fiche sur le cercle trigonométrique. D’ailleurs, n’hésite pas à t’entraîner sur nos annales de bac ! Le sujet du bac 2019 et sa correction détaillée sont disponibles ici.

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