Les bases de l’arithmétique : la divisibilité

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La divisibilité

L’arithmétique… quel drôle de domaine des maths ! C’est un chapitre qui va t’occuper presque la moitié de l’année pendant tes cours de spé maths, donc mieux vaut le maîtriser parfaitement. L’arithmétique est un peu différente des autres champs des mathématiques. En effet, ce sont des raisonnements uniquement sur les nombres entiers.

Cela dit, il n’y a pas de quoi avoir peur. Les premiers cours se contentent de reprendre des définitions que tu es censé connaitre depuis le collège (PGCD, PPCM, division euclidienne …). A partir de là viennent les critères de divisibilité et enfin la notion de nombres premiers. Dans cet article, nous allons reprendre toutes les notions relatives à la divisibilité.

Pas de secret, pour devenir le roi de l’arithmétique, il faudra pratiquer donc n’hésite pas à t’entraîner en refaisant les exemples de cette fiche !

L’exercice de spécialité du bac 2019 est disponible ici avec son corrigé détaillé si tu veux t’entraîner !

La base de l’arithmétique : la division euclidienne

La division euclidienne, c’est la division entière, celle où il y a un reste à la fin. C’est celle que tu as apprise à l’école primaire, donc tu n’as pas d’excuses pour ne pas la maîtriser !

Théorème : pour tout entier relatif a et entier naturel b (non nul), il existe un unique couple d’entiers relatifs (q,r) tel que $$ a = bq + r \text{ et } 0 \leq b <r$$

Faire la division de a par b revient à déterminer le couple (q,r).

Vocabulaire : attention à bien maîtriser le nom de chacun des termes :

  • a est le dividende
  • b est le diviseur
  • q est le quotient
  • r est le reste

Exemple : effectuons la division de 17 par 3.

On a 17 = 5 * 3 +2.

Le quotient vaut donc 5 et le reste 2. On a bien 0 \leq 2 < 3.

Exemple : effectuons la division de -22 par 5.

On a -22 = -5 \times 5 +3, attention à ne pas écrire -22 = -4 \times 5 -2 car le reste doit être positif !! Le quotient est donc -5 et le reste 3. 0 \leq 3 < 5.

Les critères de divisibilité

Définition : on dit que b divise a si le reste de la division euclidienne de a par b est nul. On note alors b|a, et cela signifie qu’il existe un entier relatif k tel que a = bk.

Exemple : 3 divise 15 en effet 15 = 3*5.

4 divise -20 car -20 = -4*5.

Vocabulaire : si a = bk alors :

  • b divise a
  • b est un diviseur de a
  • a est un multiple de b

Propriétés : le diviseur admet les propriétés suivantes :

  • si b divise a alors -b divise aussi a
  • si c divise a et b alors c divise toute combinaison linéaire de a et b, c’est-à-dire tout nombre qui s’écrit \lambda a + \mu b

Exemple : 3 divise 15 en effet 15 = 3*5. -3 divise aussi 15 car 15 = -3 \times -5.

4 divise 12 et 8 et 4 divise 12 + 2 \times 8 = 12+16=28 = 7 \times 4.

Les opérations en arithmétique : le PGCD et le PPCM

Définition : soient a et b des entiers relatifs, l’ensemble des diviseurs communs à a et b admet un maximum qui est unique et qui est appelé le plus grand commun diviseur (PGCD) de a et b. On le note pgcd(a;b)= a \wedge b.

Exemple : on veut calculer le pgcd de 12 et 16.

Les diviseurs positifs de 12 sont : 1,2,3,4,6,12.

Les diviseurs positifs de 16 sont : 1,2,4,8,16.

Le pgcd de 12 et 16 est donc 4 !

Propriétés : le pgcd a les propriétés suivantes :

  • pgcd(a;b) = pgcd(b,a)
  • pgcd(-a;b) = pgcd(a;-b) = pgcd(-a;-b)=pgcd(a;b)
  • pgcd(a;a)=a
  • pgcd(a;1)=1
  • si b divise a alors pgcd(a;b) = b
  • pgcd(ka;kb)= k pgcd(a;b)

Définition : on appelle plus petit commun multiple de deux entiers a et b non nuls, le plus petit entier strictement positif qui soit multiple de a et b. On le note ppcm(a;b) = a \vee b. On peut donc écrire :

$$PPCM(a,b)=\min\left(\left\{ m\in N^*\mid a|m~{\rm et}~b|m\right\}\right)$$

Exemple : ppcm de 18 et 27.

On a 18 = 2 \times 3 \times 3

On a 27 = 3 \times 3 \times 3

Donc ppcm(18;27)= 3 \times 3 = 9.

Propriétés : le PPCM admet les propriétés suivantes :

  • PPCM(a;b) = PPCM(b;a)

  • PPCM(a;b) = a équivalent à b|a

  • PPCM(ac;bc)=c PPCM(a;b)

Lien entre pgcd et ppcm : on peut relier le pgcd et le ppcm avec la formule suivante :

$$PPCM(a,b) \times PGCD(a,b)=|a b|$$

L’algorithme d’Euclide

L’algorithme d’Euclide permet de calculer le PGCD de deux nombres.

Cet algorithme repose sur la propriété suivante : pgcd(a;b) = pgcd(b;b-a). On peut réappliquer cette propriété et donc faire autant de différence qu’on le souhaite. Avec les notations du paragraphe sur la division euclidienne, on a donc : pgcd(a;b) = pgcd(b;r).

L’algorithme consiste donc à faire la division euclidienne de a par b, puis de b par r et de continuer jusqu’à trouver un reste nul. Le pgcd de a et b est alors le dernier reste non nul.

Exemple : calculons le pgcd de 346 et 168

La première étape consiste à effectuer la division de 346 par 168 : 346 = 2 \times 168 + 10

Il faut ensuite effectuer la division de 168 par 10 : 168 = 16 \times 10 + 8

Vous devez après cela effectuer la division de 10 par 8 : 10 = 1 \times 8 + 2

Enfin, il faut effectuer la division de 8 par 2 : 8 = 4 \times 2 + 0

On a trouvé un reste nul donc l’algorithme s’arrête.

On en déduit que PGCD(346;170) = 2

On en déduit également le PPCM.

$$PPCM(346;168) = \frac{346;170}{2} = 29410$$

Voilà qui conclut cette fiche sur les bases de l’arithmétique ! N’hésite pas à t’entraîner sur nos annales ou à consulter nos autres fiches de cours, par exemple celle sur les matrices !

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