inverser une matrice

Inverser une matrice (option mathématiques expertes)

Maintenant que tu acquis les bases de la notion de matrice grâce à cet article, nous allons aborder quelque chose de tout à fait essentiel : savoir inverser une matrice. Maîtriser cette notion te sera d’une grande aide pour le bac et pour la suite de tes études si tu continues les maths. N’hésite pas à faire / refaire les exemples dans ton coin avec un papier et un crayon. Il n’y a pas de secret, c’est en faisant qu’on apprend.

La notion d’inverse d’une matrice – La méthode

Inverser une matrice : principe et définition

Dans les articles précédents, nous avions défini ce qu’est un élément neutre pour une opération. Par exemple, pour l’addition cet élément est 0. En effet quel que soit le réel x considéré \(x+0 = x\). Pour la multiplication c’est 1, car pour tout réel x, \(x \times 1 =x\).

On peut aussi définir l’inverse. L’inverse d’un élément x est l’élément x’ tel que lorsque l’on fait l’opération entre x et x’ on obtient l’élément neutre. Pour l’addition, l’inverse de x et -x, en effet \(x+(-x)=0\). Pour la multiplication, l’inverse de x est \(\frac{1}{x}\), en effet \(x \times \frac{1}{x} = 1\).

On peut définir ces 2 notions pour le produit matriciel. Pour rappel, l’élément neutre dans le produit matriciel est la matrice identité. L’inverse d’une matrice A est donc la matrice B telle que \(AB=BA=I_n\). Si un tel élément existe on dit que la matrice A est inversible, on note cet inverse \(A^{-1}\).

Attention, toutes les matrices ne sont pas inversibles !!!!

Inverser une matrice : quelques propriétés de base

On vient de dire qu’une matrice A est inversible si et seulement si il existe une matrice B telle que \(AB=BA=I_n\). Il est très important d’avoir \(AB=I_n\) ET \(BA=I_n\). En effet, on rappelle que le produit matriciel n’est pas commutatif et que par conséquent la plupart du temps \(AB \neq BA\).

Puisqu’il faut que le produit soit possible dans les 2 sens entre A et B, cela implique que les deux matrices soient carrées et de même dimension.

On peut donc multiplier à gauche ou à droite par l’inverse d’une matrice s’il existe.

Par exemple, considérons trois matrices A, B et C. Supposons que la matrice A soit inversible et que l’on ait \(AB=AC\). Que peut-on dire sur les matrices B et C?

Puisque la matrice A est inversible on peut multiplier l’égalité à gauche par \(A^{-1}\).

On obtient alors \(A^{-1}AB=A^{-1}AC\).

Ce qu’on peut réécrire \(I_n B=I_nC\), et finalement \(B=C\)

La notion d’inverse d’une matrice – Les points d’attention

L’inverse d’un produit de matrices

Soient A et B deux matrices carrées de taille \((n,n)\) inversibles. Alors le produit \(AB\) est également inversible et l’on a \((AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}\).

En effet \(B^{-1}A^{-1}AB=B^{-1}I_nB = B^{-1}B = I_n \) et \(ABB^{-1}A^{-1}=AI_nA^{-1} = A^{-1}A = I_n \).

Cas d’une matrice \(2 \times 2\)

C’est le seul cas du programme où tu dois savoir dire si une matrice est inversible ou pas.

Considérons une matrice A

$$A= \begin{pmatrix}
a & b \\
c & d
\end{pmatrix}$$

Alors la matrice A est inversible si et seulement si \(ad-bc \neq 0\).

Si la matrice A est inversible est inversible alors on sait que la matrice \(A^{-1}\) est :

$$A^{-1}= \frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}
d & -b \\
-c & a
\end{pmatrix}$$

Conseil : pour t’entraîner au produit matriciel vérifie que \(AA^{-1}=A^{-1}A=I_n\)

Écriture d’un système sous forme matricielle

Considérons un système d’inconnues x et y.

$$\left\{\begin{array}{l}
a x+b y=k \\
c x+d y=l
\end{array}\right.$$

Dans ce système a,b,c,d,k,l sont fixés et connus. On cherche donc, si elles existent des valeurs de x et y qui vérifient ces équations.

On remarque qu’en posant

$$A= \begin{pmatrix}
a & b \\
c & d
\end{pmatrix}$$

$$X= \begin{pmatrix}
x \\
y
\end{pmatrix}$$

$$Y= \begin{pmatrix}
k \\
l
\end{pmatrix}$$

Alors ce système peut se réécrire \(AX=Y\).

Résoudre le système revient donc à déterminer si la matrice A est inversible, et si elle l’est on peut alors écrire \(X=A^{-1}Y\)

Prenons un exemple

$$\left\{\begin{array}{l}
1 x+2 y=3 \\
4 x+ 5 y=6
\end{array}\right.$$

Alors on pose

$$A= \begin{pmatrix}
1 & 2 \\
4 & 5
\end{pmatrix}$$

et $$Y= \begin{pmatrix}
3 \\
6
\end{pmatrix}$$

On cherche alors à résoudre \(AX=Y\).

On commence par vérifier que la matrice A est inversible \(ad-bc=5-8=-3\). Donc la matrice A est inversible.

On a

$$A^{-1}= \frac{1}{-3}\begin{pmatrix}
5 & -2 \\
-4 & 1
\end{pmatrix}$$

On en déduit que la solution est donnée par \(X=A^{-1}Y\)

$$X= \frac{1}{-3}\begin{pmatrix}
3 \\
-6
\end{pmatrix}$$

Et finalement

$$X= \begin{pmatrix}
-1 \\
2
\end{pmatrix}$$

On peut vérifier en réinjectant dans les équations de départ

$$\left\{\begin{array}{l}
1 \times (-1)+2 \times 2=-1+4=3 \\
4 \times (-1)+ 5 \times 2=-4+10=6
\end{array}\right.$$

On a donc bien résolu le système.

À toi de jouer !

Question les matrices suivantes sont-elles inversibles ? Si elles le sont, calculer leur inverse

$$A= \frac{1}{-3}\begin{pmatrix}
3 & -2 \\
-6 & 4
\end{pmatrix}$$

$$B= \frac{1}{-3}\begin{pmatrix}
3 & -4 \\
-6 & 2
\end{pmatrix}$$

$$C= \frac{1}{-3}\begin{pmatrix}
3 & 2 \\
-6 & 4
\end{pmatrix}$$

Réponse : On calcule pour chaque matrice \(ad-bc\).

Pour la matrice A \(ad-bc=12-12=0\), donc la matrice A n’est pas inversible.

Pour la matrice B \(ad-bc=12-24=-12\), donc la matrice B est inversible.

$$B^{-1}= \frac{1}{-12}\begin{pmatrix}
2 & 4 \\
6 & 3
\end{pmatrix}$$

Pour la matrice C \(ad-bc=12+12=24\), donc la matrice C est inversible.

$$C= \frac{1}{24}\begin{pmatrix}
4 & -2 \\
6 & 3
\end{pmatrix}$$

Maintenant que tu es un champion et que tu sais inverser une matrice, vient tester tes connaissances sur l’exercice de spécialité de l’épreuve de maths du bac S 2019, le sujet et un corrigé détaillés sont disponibles ici.