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Kit de survie sur les probabilités discrètes

La quasi totalité des sujets de bac comprend un exercice sur les probabilités. Il existe différents types de probabilités : probabilités discrètes ou continues, conditionnelles ou non… Nous nous intéressons ici aux probabilités liées aux variables aléatoires discrètes. Nous reverrons le vocabulaire des probabilités, les variables aléatoires et les lois usuelles.

Cette fiche n’a pas pour but de se substituer à un cours, mais uniquement d’essayer de vous expliquer de façon simple, ce que sont les probabilités discrètes et comment les manipuler.

Compétences que doit maîtriser le candidat :

  • connaître le vocabulaire lié aux probabilités
  • savoir utiliser les propriétés de calcul
  • connaître la notion de variable aléatoire
  • connaître les lois usuelles, leur espérance et leur variance
  • savoir identifier la loi d’une variable aléatoire

Le vocabulaire des probabilités discrètes

Pour illustrer ce petit point de vocabulaire, prenons un exemple. Considérons un dé classique à 6 faces non truqué.

L’univers \(\Omega \) associé à cette expérience est l’ensemble des issues ou des cas possibles de l’expérience. Obtenir 6 est une issue ou un cas possible. L’univers est \(\Omega \) = {obtenir 1, obtenir 2, obtenir 3, obtenir 4, obtenir 5, obtenir 6}

Si on considère \(\Omega\) tout entier, on parle d’événement certain. L’événement A : obtenir un chiffre inférieur à 7, correspond à \(\Omega\) tout entier, c’est un événement certain. On \(P(A) = 1\).

A l’inverse, une partie vide de \(\Omega\) est appelée un événement impossible. L’événement B : obtenir un chiffre supérieur à 7, ne correspond à aucune des issues contenues dans \(\Omega\) . C’est un événement impossible. On a $latex P(B) = 0$.

L’événement contraire de A est noté \(\overline{A}\). Il correspond au complémentaire de la partie A dans \(\Omega\). Soit A : obtenir un nombre pair. La partie de \(\Omega\). qui correspond à A est \(\Omega_A =\) {obtenir 2, obtenir 4, obtenir 6}. L’événement contraire \(\overline{A}\) correspond lui à \(\Omega_{\overline{A}}\) = {obtenir 1, obtenir 3, obtenir 5}. On a \(\Omega_A + \Omega_{\overline{A}} = \Omega\) et \(P(A) + P(\overline{A}) = 1\)

L’union de 2 événements A ou B, notée \(A \cup B\), correspond à la réalisation de l’événement A ou B ou des 2. Exemple : soit A l’évenement obtenir 1, B l’évenement obtenir un nombre pair, alors \(A \cup B\) correspond à obtenir 1 ou un nombre pair. Les issues favorables sont donc \({1,2,4,6}\).

L’intersection de 2 événements A et B, notée \(A \cap B\), correspond à la réalisation de l’événement A et de l’événement B. Si l’intersection est vide on parle d’événements incompatibles. Si on reprend les événements A et B du point précédent, ils sont incompatibles car 1 n’est pas un chiffre pair. Considérons l’événement C : obtenir un chiffre plus petit que 3. Alors l’intersection de B et C correspond à obtenir un nombre pair plus petit que 3 c’est à dire obtenir 2.

Quelques propriétés de base sur les probabilités discrètes

Certaines propriétés de base sont à connaître par coeur pour traiter correctement les exercices.

\(P(\Omega) = 1 \) \(P(\varnothing) = 0\), \(\varnothing\) représente l’ensemble vide

\(P(A) + P(\overline{A}) = 1\)

Si A et B sont 2 événements incompatibles, c’est à dire si \(A \cap B = \varnothing\) alors \(P(A \cup B) = P(A) + P(B)\)

Quels que soient les événements A et B, \(A \subset B\) implique que \(P(A) \leq P(B)\).

Quels que soient les événements A et B, \(P(A \cup B) = P(A) + P(B)- P(A \cap B)\).

Variable aléatoire, espérance et variance

Pour traiter correctement des exercices de probabilités, il est important de bien maîtriser ces 3 concepts.

Une variable aléatoire sert à modéliser une expérience. C’est une fonction définie sur un univers \(\Omega\) et à valeur dans \(\mathbb{R}\).

Par exemple, on peut définir la variable aléatoire \(X\) qui prend pour valeur le nombre obtenu en lançant le dé. X prend alors les valeurs \({1, 2, 3, 4, 5,6}\).

La loi de probabilité associe à toute valeur \(x_i\) que prend X une probabilité \(P(X=x_i)\).

Ici X suit une loi uniforme \(\forall i \in {1,2,3,4,5,6}\), \(P(X=x_i) = \frac{1}{6}\).

L’espérance correspond à la valeur moyenne que l’on peut espérer atteindre si l’on répète l’expérience un grand nombre de fois. Elle est notée \(E(X)\).

$$E(X) = \sum_{i=1}^{n} p_{i} x_{i}$$

La variance est elle notée \(V(X)\) et vaut :

$$V(X) = \sum_{i=1}^{n} p_{i}\left(x_{i}-E(\mathrm{X})\right)^{2} $$

Les lois de probabilités

La loi uniforme

On parle de loi uniforme quand toutes les issues élémentaires ont la même probabilité d’arriver.

C’est le cas dans le jeu du dé. On a 1 chance sur 6 d’obtenir chaque nombre.

Si N est le nombre d’événements possibles, la probabilité de chaque événement est \(P(A)= \frac{1}{N}\).

La loi de Bernoulli

On appelle expérience de Bernoulli, une expérience aléatoire qui n’admet que 2 issues, souvent appelées succès et échec.

Considérons un joueur de basket qui effectue un lancé franc. Les 2 issues possibles sont : le succès, c’est à dire qu’il réussit le panier qui arrive avec une probabilité de 0.6 ou bien l’échec, le ballon ne termine pas dans le panier, qui arrive donc avec une probabilité 1-0.6=0.4.

On modélise souvent la situation par une variable aléatoire X, qui vaut 1 en cas de succès et 0 en cas d’échec et on note p la probabilité de succès.

$$ E(X) = 0 \times (1-p) + 1 \times p = p $$

$$ V(X) = p(1-p) $$

Voici la démonstration du calcul de la variance

\(V(X) = \sum_{i=1}^{n} p_{i}\left(x_{i}-E(\mathrm{X})\right)^{2} \) \(= (0-p)^2(1-p)+(1-p)^2p\) \(= (1-p)p^2+p(1-p)^2\) \(= (1-p)p(p+1-p)\) \(= p(1-p)\)

La loi Binomiale

On appelle schéma de Bernoulli, la répétition de n expériences de Bernoulli identiques et indépendantes.

Soit X la variable aléatoire qui compte le nombre de succès obtenu lors d’un schéma de Bernoulli, alors X suit une loi binomiale de paramètre \((n,p)\), avec n le nombre d’expériences de Bernoulli et p la probabilité de succès.

Pour tout entier \(k\) compris entre 0 et n on a :

$$p(X=k)=\left(\begin{array}{l}{n} \\ {k}\end{array}\right) p^{k}(1-p)^{n-k}$$.

Par exemple, soit X la variable aléatoire qui correspond au nombre de pile obtenu en lançant 10 fois une pièce truquée. La probabilité que la pièce tombe sur pile est de 0,4. Alors la probabilité que X prenne la valeur 3 est :

$$p(X=3)=\left(\begin{array}{c}{10} \\ {3}\end{array}\right) 0,4^{3}(1-0,4)^{10-3}$$.

Le programme ne donne pas de formule pour le calcul de \(p(X \leq k)\), il faut donc utiliser la calculette.

Sa variance et son espérance sont

$$E(X) = np $$

$$V(X) = np(1-p)$$

Pour retrouver ces formules, il faut partir de l’espérance et la variance d’une loi de Bernoulli et remarque qu’une loi binomiale est la répétition de n expériences de Bernoulli.

Les coefficients binomiaux

La probabilité que \(X\) prenne la valeur k fait intervenir le coefficient binomial \(\left(\begin{array}{l}{n} \\ {k}\end{array}\right)\)

Un coefficient binomial se lit ” k parmi n “. C’est un entier qui correspond au nombre de façons possibles de choisir k éléments parmi n éléments.

Il n’est défini que pour k compris entre 0 et n. On peut l’exprimer avec la fonction factorielle :

$$
\left(\begin{array}{l}{n} \\ {k}\end{array}\right)=\frac{n !}{k !(n-k) ! }
$$

Certaines valeurs sont à connaître

$$ \left(\begin{array}{l}{n} \\ {0}\end{array}\right)=1$$

$$\left(\begin{array}{l}{n} \\ {n}\end{array}\right)=1$$

En effet, si on considère un ensemble de n éléments, il n’y a qu’une seule façon d’en choisir 0 ou d’en choisir n.

On peut également remarquer que choisir k éléments parmi n, revient au même que d’en choisir n-k. Si j’ai par exemple 10 cartes et que je veux en donner 3, choisir 3 cartes parmi les 10 revient au même que de choisir les 10-3 = 7 que je vais garder. On a donc

$$
\left(\begin{array}{l}{n} \\ {k}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{n} \\ {n-k}\end{array}\right)
$$

La formule de Pascal permet de manipuler les coefficients binomiaux. Elle nous dit que :

$$
\left(\begin{array}{l}{n} \\ {k}\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}{n} \\ {k+1}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}{n+1} \\ {k+1}\end{array}\right)
$$

Pour comprendre cette formule, essayons de compter le nombre de façons de choisir (k+1) éléments parmi (n+1). Commençons par choisir de façon complétement aléatoire un élément et notons le a. Pour choisir nos (k+1) éléments, nous allons commencer par choisir toutes les combinaisons qui contiennent l’élément a. Pour cela il faut donc choisir k éléments en plus de l’élément a parmi n (n+1 éléments moins l’élément a). Puis on choisit toutes les combinaisons qui n’incluent pas l’élément a. Il faut donc choisir k+1 éléments parmi n.

Le nombre total de façons de choisir k+1 éléments parmi n+1 est la somme de ces 2 coefficients binomiaux.

On peut aussi visualiser cette formule grâce au triangle de Pascal

 

Pour vous entraîner à l’épreuve de mathématiques, n’hésitez pas à consulter le corrigé du bac de maths S 2018 disponible ici ou le sujet de 2019 qui est disponible avec son corrigé ici.