Les lois de Kirchhoff et lois de comportement

Dans cette partie, nous allons essayer de présenter deux lois importantes vous permettant de modéliser le fonctionnement d’un produit. Cet article s’inscrit dans la démarche de modélisation d’un produit existant dans l’optique de prévoir ses performances. En effet, l’enjeu de ce chapitre, comme des sciences de l’ingénieur en général, est de modéliser le comportement d’un produit/système complexe réel afin de clarifier son fonctionnement d’une part, mais aussi pour prévoir les performances de ce dernier. On entend par performance, l’efficience du système à remplir la tâche pour laquelle il a été conçu. 

Dans cet article, nous allons nous intéresser plus particulièrement au comportement électrique des systèmes. Les objectifs du chapitre sont alors de prendre connaissance des lois largement utilisées comme modèle pour traduire le fonctionnement électrique d’un produit, plus particulièrement, déterminer le courant et la tension dans un circuit électronique.

 

Présentation de la notion

Les lois de Kirchhoff – Déterminer le courant et la tension

Les lois de Kirchhoff expriment la conservation de l’énergie et de la charge dans un circuit électrique. Elles portent le nom du physicien allemand qui les a établies en 1845 : Gustav Kirchhoff.

On se place dans le cas d’une étude d’un circuit électronique. Dans ces circuits parfois complexes, il est possible, grâce aux lois de Kirchhoff, qui sont des lois fondamentales, de calculer les différences de potentiel aux bornes de chaque résistance et l’intensité du courant continu dans chaque branche de circuit.

Il existe deux lois de Kirchhoff : La loi des noeuds et la loi des mailles.

 

La loi des noeuds

La loi des noeuds dit que la somme des intensités des courants qui entrent par un nœud est égale à la somme des intensités des courants qui sortent du même nœud.

loi des noeuds

Schématisation de la loi des noeuds

De manière analytique cela revient à dire : i1 = i2 + i3

Cette loi découle directement de la conservation de la charge électrique, en tenant compte du fait qu’en régime stationnaire, ces charges ne peuvent pas s’accumuler à un endroit quelconque du circuit. Cette loi permet ainsi la résolution d’« équations électriques » grâce à la méthode des nœuds.

 

La loi des mailles

La loi des mailles dit que dans une maille quelconque d’un, dans l’approximation des régimes quasi stationnaires, la somme algébrique des différences de potentiel le long de la maille est constamment nulle.

loi des mailles

Schématisation loi des mailles

 

L’application de la deuxième loi de Kirchhoff dans la maille ci-dessus donne le résultat suivant:

e – Ur = 0 d’où Ur = e

Cette loi nous permet donc de connaître la tension aux bornes de la résistance R1. Il s’avère qu’elle est égale à la tension fourni par le générateur e. Il faut faire attention que cette loi dépend de l’orientation du circuit qui est souvent l’orientation du courant. Ce choix est arbitraire puisque le résultat sera bien entendu toujours le même mais il faut faire attention à ce détail.

 

Les lois de comportement

Les lois de comportement correspondent aux lois physique traduisant le fonctionnement / le comportement du composant électronique. Voici les principales lois à connaître et retenir:

La résistance

U = R*i où U correspond à la tension entre les bornes de la résistance, i le courant le traversant et R la résistance.

Le condensateur

q = C*U où U correspond à la tension entre les bornes du condensateur, C la capacité du condensateur et q la charge.

i = C * du/dt où i correspond au courant et u à la tension

La bobine

u = L*di/dt où L correspond à l’inductance de la bobine.

Nous ne présentons que ces trois composants car ce sont les composants de base à maîtriser et les plus utilisé en électronique.

 

Exemple

Considérons le circuit électrique suivant.

exemple

La génératrice à gauche délivre une tension e = 2V.

Les résistances R1 et R2 ont pour valeurs nominales : R1 = 2 Ohms et R2 = 4 Ohms.

Nous allons chercher à déterminer les courants i1, i2 et i3 circulant dans chacune des mailles ainsi que les tensions Ur1 et Ur2 aux bornes des résistances.

 

Calcul de la tension aux bornes de R2

En appliquant la Loi des mailles dans la maille de droite où se situe R2 on peut voir qu’il n’y a qu’une seule tension apparente. On obtient alors : Ur2 = 0. 

En effet, on dit que la résistance R2 est en court-circuit. La tension à ses bornes est nulle.

 

Calcul de la tension aux bornes de R1

En appliquant la Loi des mailles dans la maille de gauche où se situe R1 on obtient alors : e – Ur = 0 d’où Ur = e. 

 

Calcul du courant i1 traversant la résistance R1

Pour ce calcul, nous allons faire appel ici à une loi de comportement: la loi de comportement de la résistance: U = Ri

Ainsi on a : Ur1 = R1*i1 d’où : i1 = Ur1/R1 = 1A (1 Ampère)

 

Calcul du courant i2 traversant la résistance R2

Pour ce calcul, nous allons faire appel ici à une loi de comportement: la loi de comportement de la résistance: U = Ri

Ainsi on a : Ur2 = R2*i2 d’où : i2 = Ur2/R2 = 0 car Ur2 = 0

 

Calcul du courant i3

D’après l’application de la loi des noeuds au niveau du noeud A on obtient:

i1 = i2 + i3

D’où i1 = i3 = 1A car i2 = 0.

L’exercice est alors terminé, et vous avez pu voir l’importance des lois de Kirchhoff et des lois de comportement.

 

Sujet du bac analysé

Prenons l’exemple du sujet suivant.

Pour calculer VA et VB, nous allons utiliser l’aide concernant l’expression du pont diviseur de tension:

On obtient bien le résultat attendu.

Conclusion

En résumé, Kirchhoff a créé deux lois permettant de calculer le courant dans un circuit et la tension aux bornes de composant électronique.  Il faut connaître ces lois qui sont simples dans leur application et savoir bien entendu les appliquer. D’autre part, il faut aussi connaître les lois de comportement des composants basiques présenté plus haut pour pouvoir réussir, grâce aux lois de Kirchhoff, à résoudre les calculs de courant et tension.

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