Lois de Kepler et gravitation – Bac de Physique-Chimie

Comment savoir à quelle hauteur mettre en orbite les satellites ? Pourquoi les satellites géostationnaires (météo principalement) restent toujours au-dessus du même point au-dessus de la Terre ? Comment peut-on prévoir le passage des comètes avec plusieurs siècles d’avance ? Nous verrons tout cela à travers les lois de la gravitation et ce qu’elles impliquent dans le mouvement des astres au-dessus de nos têtes.

Les lois de Kepler

Tout d’abord, pour décrire le mouvement des planètes, nous allons introduire la notion d’orbite: il s’agit de la trajectoire que dessine un corps céleste (un corps céleste peut être une planète, une étoile, une lune ou un satellite : il s’agit d’un objet qui se déplace dans l’espace).

Première loi de Kepler

Dans le référentiel héliocentrique, la trajectoire des planètes est une ellipse dont le soleil est l’un des foyers.

Remarques:

Le péri centre est le point de l’orbite le plus proche de l’astre central. Si l’astre central est le Soleil, on parle de périhélie, si l’astre central est la Terre, c’est le périgée. L’apocentre est le point de l’orbite le plus éloigné de l’astre central. Si l’astre central est le Soleil, on parle d’aphélie, si l’astre central est la Terre, c’est l’apogée.

Deuxième loi de Kepler ou loi des aires

Énoncée en 1609, elle permet de caractériser la vitesse du mouvement des corps célestes sur leurs orbites.

Dans le référentiel héliocentrique, des aires égales sont balayées dans des temps égaux. Les aires A2 et A1 sont égales et il faut alors le même temps pour que le point M passe du point F au point E qu’il passe du point D au point C.

On approche grâce à ce schéma de l’idée de la représentation de la gravitation dans les livres de physique. Plus on est proche du soleil,
plus la planète va vite. Pour comprendre intuitivement cette idée, imaginez que l’espace est un grand drap que vous tendez à ses extrémités. Placez alors une boule de pétanque pour représenter le soleil, en lançant une bille plus petite sur ce drap (qui représentera la Terre) vous verrez que la bille va plus vite dans un espace plus creux (et donc plus proche de la boule de pétanque) qu’un espace plat (la bille est “attirée” par la boule de pétanque).

Cette description de l’espace bien qu’un peu farfelue est en fait à la base de la théorie de la relativité générale d’un certain Albert Einstein.

On appelle période de révolution le temps que met un corps céleste à parcourir son orbite autour de l’astre centrale (la période de révolution de la Terre est d’environ 365,25 jours).

Troisième loi de Kepler ou loi des périodes

Cette loi, énoncée en 1618, permet de relier directement la période de révolution d’un corps céleste autour d’un astre sans faire intervenir la masse du corps céleste en question. Cette loi est fondamentale en mécanique spatiale : elle permet aux ingénieurs de connaître la hauteur à laquelle il faut mettre en orbite les satellites.

On note R le demi grand-axe de l’orbite du corps céleste A autour de l’astre S. On a alors la formule suivante:

\frac{T^2}{R^3}=constante et on a plus précisément :

\frac{T^2}{R^3}=\frac{4\pi^2}{GM_S}

Avec $latex G=6,674.10^{-11}m^{3}kg^{-1}s^{-2}$, la constante de gravitation. Ms la masse de l’astre central et T la période de révolution du corps céleste. 

Expression de la loi de la gravitation universelle

On note A et B deux corps en interaction. La force d’attraction de A sur B est donnée par la relation suivante:

\overrightarrow{F_{A/B}}=-G \frac{m_A  m_B}{(distance_{AB})^2}\overrightarrow{u_{A/B}}=-\overrightarrow{F_{B/A}}loi de gravitation

Etude du mouvement dans un champ de gravitation

Le mouvement d’un objet en orbite autour d’un astre est toujours une ellipse. Dans certains cas, cette ellipse est un cercle (ou presque), comme par exemple l’orbite de la Terre dans le référentiel héliocentrique.

Considérons le mouvement circulaire de la Terre autour du Soleil (on notera bien la démarche qui sera toujours la même dans un exercice de mécanique céleste):

Système étudié : Terre de masse M_T

Référentiel d’étude : héliocentrique supposé galiléen (pour appliquer les lois de Newton)

Inventaire des forces extérieures :
Force de gravité \overrightarrow{F_G} exercée par le Soleil sur la Terre.

Déroulé du calcul :
Comme la masse de la Terre est constante, d’après la deuxième loi de Newton :

\sum \overrightarrow{F} =\overrightarrow{F_G} = M_T  \overrightarrow{a}

Or la force de gravité \overrightarrow{F_G} s’écrit de la manière suivante :

\overrightarrow{F_G}=G\frac{M_T  M_S}{R^2}\overrightarrow{N}

On a donc

M_T(a_N\overrightarrow{N}+a_T\overrightarrow{T})=G\frac{M_T  M_S}{R^2}\overrightarrow{N}

En utilisant le repère de Frenet. Or en écrivant les différentes composantes, on obtient que:

a_N=G\frac{M_S}{R^2}

a_T=0

Alors d’après le repère de Frenet, \frac{dv}{dt} =0 donc v est constante.

On obtient alors le résultat suivant: SI la trajectoire d’un objet en orbite gravitationnelle est circulaire alors son mouvement est uniforme.

On peut ensuite déterminer la vitesse de rotation de la Terre.
On a par Frenet :

a_N=\frac{v^2}{R}

or par la démonstration précédente :

a_N=G\frac{M_S}{R^2}

D’où :

v=\sqrt{\frac{G.M_S}{R}}

On cherche maintenant à retrouver la période de révolution de la Terre.
Le périmètre de l ’orbite décrit est égal à L = 2\pi R.

v=\frac{d}{\Delta t}=\frac{L}{T}=\frac{2\pi R}{T}

Puis en utilisant l’expression de la vitesse alors trouvé précédemment, on obtient:

\sqrt{\frac{G.M_S}{R}}=\frac{2\pi R}{T}

D’où

T=2\pi \sqrt{\frac{R^3}{GM_S}}

On retrouve en passant au carré la troisième loi de Kepler :

\frac{T^2}{R^3}=\frac{4\pi^2}{GM_S}

 

Exercice résolu sur un système de gravitation

A quelle altitude h sont placés les satellites géostationnaires ? Rappel: Un satellite géostationnaire reste toujours au dessus de la même position sur Terre (il est comme relié par une tige invisible et verticale au dessus d’un point de l’équateur).

On commence par poser le problème:

Système étudié : Satellite de masse M_{Sat}

Référentiel d’étude : géocentrique supposé galiléen (pour appliquer les lois de Newton)

Inventaire des forces extérieures :

Force de gravité \overrightarrow{F_G} exercée par la Terre sur le satellite.

On utilise la troisième loi de Kepler avec R le rayon de la Terre et h la hauteur entre le satellite et la surface terrestre.

On a donc : T=2\pi \sqrt{\frac{(R+h)^3}{GM_T}}  (Attention, il s’agit ici de la masse de la Terre et non celle du Soleil)

Ce qui donne ensuite:

h=\sqrt[3]{\frac{T^2 GM_T}{4\pi^2}}-R

On obtient une hauteur de 36 000 km.

A retenir sur les lois de Kepler et la force de gravitation

Les trois lois de Kepler:

  • Dans le référentiel héliocentrique, la trajectoire des planètes est une ellipse dont le soleil est l’un des foyers.
  • Dans le référentiel héliocentrique, des aires égales sont balayées dans des temps égaux.
  • \frac{T^2}{R^3}=\frac{4\pi^2}{GM_S}

L’expression de la force de gravitation est donnée par :

\overrightarrow{F_{A/B}}=-G \frac{m_A  m_B}{(distance_{AB})^2}\overrightarrow{u_{A/B}}=-\overrightarrow{F_{B/A}}

 

N’hésitez pas à poursuivre vos révisions avec d’autres fiches de Physique-Chimie ! Bon courage pour l’épreuve !