Correction de l’exercice de spécialité du bac de maths S 2018

La spé maths c’est 2 grands chapitres : les matrices et l’arithmétique. Le jour du bac, pour l’épreuve de maths, un exercice entier sera dédié à la spécialité. Souvent un exercice vaut environ 5 points. Inutile donc de dire qu’il est très important de maîtriser les 2 notions de la spé. Le problème c’est que ces notions sont assez éloignées de ce que l’on voit en maths au lycée. Il faut donc y consacrer un peu de temps et travailler. Les notions ne sont pas dures, il faut juste faire des exercices pour les manipuler et se les approprier. C’est pour ça que nous te proposons un corrigé très détaillé de l’exercice de spécialité maths S 2018.

Le sujet est disponible ici : Sujet bac maths S 2018 spécialité

Le sujet de maths obligatoire et le corrigé des autres exercices est disponible ici.

Bien entendu le sujet est sur les matrices et l’arithmétique.

Partie A

On considère l’équation d’inconnues x et y qui sont des entiers naturels, vérifiant x^2-8y^2=1. Cette équation est nommée E pour la suite du problème

Question 1

Considérons le couple (3,1), alors 3^2-8 \times 1 = 9-8=1. On en déduit que le (3,1) est un couple solution.

Question 2

On considère la matrice A :

$$A = \begin{pmatrix}
3 & 8\\
1 & 3
\end{pmatrix}$$

On définit 2 suites d’entiers naturels  (x_n) et (y_n).

Les suites sont définies par x_0=1 et y_0=0 et la relation de récurrence :

$$\left(\begin{array}{l}
x_{n+1} \\
y_{n+1}
\end{array}\right)=A\left(\begin{array}{l}
x_n \\
y_n
\end{array}\right)$$

Question 2a

Démontrons par récurrence la propriété P(n): le couple (x_n,y_n) est solution de l’équation (E).

Initialisation : au rang 0 on a x_0=1 et y_0=0. or 1^2-8 \times 0^2 = 1-0=1. Donc le couple (x_0,y_0) est solution de (E), la proriété est donc vraie au rang 0.

Hérédité : soit n appartenant à \mathbb{N}, on suppose que P(n) est vraie.

On a

$$\left(\begin{array}{l}
x_{n+1} \\
y_{n+1}
\end{array}\right)=A\left(\begin{array}{l}
x_n \\
y_n
\end{array}\right)= \left(\begin{array}{l}
3 x_n + 8 y_n \\
x_n + 3 y_n
\end{array}\right)$$

Calculons x_{n+1}^2-8 y_{n+1}^2.

On a x_{n+1}^2-8 y_{n+1} = (3 x_n + 8 y_n)^2 - 8 (x_n + 3 y_n)^2= 9 x_n^2 + 42 x_n y_n + 64 y_n^2 - 8 x_n^2 - 42 x_n y_n  - 72 y_n^2 = x_n^2 -8 y_n^2.

Or d’après l’hypothèse de récurrence  (x_n,y_n)  est solution de (E) donc x_n^2 -8 y_n^2=1. On en conclut que x_{n+1}^2-8 y_{n+1}^2=1.

Par conséquent P(n+1) est vraie.

On vient de démontrer par récurrence que pour tout entier n appartenant à \mathbb{N}(x_n,y_n) est solution de (E).

Question 2b

On suppose que la suite (x_n) est à valeurs strictement positive.

On a x_{n+1}= 3 x_n + 8 y_n .

On a donc x_{n+1} - x_n= 2 x_n + 8 y_n .

Or x_n et y_n sont des entiers naturels, ils sont donc positifs ou nuls, or x_n est strictement positif donc non nul. On en conclut que x_{n+1}-x_n>0, puis x_{n+1}>x_n.

Question 3

D’après la question précédente, pour tout entier n appartenant à \mathbb{N}(x_n,y_n) est solution de (E) et x_{n+1}>x_n. On en déduit que tous les couples (x_n,y_n) sont différents. Il en existe une infinité et ils sont tous différents, on en déduit donc que l’équation (E) admet une infinité de solutions.

Partie B

Un entier naturel n est appelé un nombre puissant lorsque, pour tout diviseur premier p de n, p^2 divise n.

L’objectif de cette partie est de démontrer, à l’aide des résultats de la partie A, qu’il existe une infinité de couples de nombres entiers naturels consécutifs puissants et d’en trouver quelques exemples.

Question 1

La question demande de vérifier qu’il existe deux nombres entiers consécutifs inférieurs à 10 qui sont puissants.  Si vous ne voyez pas quels sont ces 2 nombres prenez un brouillon et tester tous les entiers inférieurs à 10.

Pour rappel les nombres premiers inférieurs à 10 sont : 2, 3, 5, 7.

2 : admet pour diviseur premier lui même or 2^2=4 et 4 ne divise pas 2

3 : admet pour diviseur premier lui même or 3^2=9 et 9 ne divise pas 3

4 : admet pour diviseur  premier 2, 2^2=4, donc 4 convient

5 : admet pour diviseur premier lui même or 5^2=25 et 25 ne divise pas 5

6 : admet pour diviseur premier 2 et 3 or  4 et 9 ne divise pas 6

7 : admet pour diviseur premier lui même or 7^2=49 et 49 ne divise pas 7

8 : admet pour diviseur premier 2, 2^2=4, et 4 divise 8 donc 8 convient

9 : admet pour diviseur premier 3, 3^2=9, et 9 divise 9 donc 9 convient

Donc les entiers 8 et 9 sont consécutifs, inférieurs à 10, et sont puissants.

Question 2

Soient a et b deux entiers naturels.

Considérons l’entier n=a^2b^3.

Soit p un diviseur premier de n. Alors soit p est dans la décomposition en facteur premier de a^2 ou dans celle de b^3, ou dans les 2. Par conséquent, p est également dans la décomposition en facteur premier de a ou b ou les 2. Si il est dans celle de a, alors p^2 est dans la décomposition en facteurs premiers de a^2 et donc de n. S’il est dans celle de b, alors p^2 divise b^2 et donc b^3 et donc n.

Donc si p est un diviseur de n et que p est un nombre premier, alors p^2 est également un diviseur de n, donc n est un nombre puissant.

Question 3

On veut montrer que si (x;y) est un couple de solution de l’équation (E) alors x^2-1 et x^2 sont des entiers consécutifs puissants.

D’après la question précédente, si a et b sont des entiers naturels alors n=a^2b^3 est un nombre puissant.

Remarquons qu’on peut toujours écrire x^2=x^2 1^3. Donc x^2 est un nombre puissant.

Puisque x est solution de l’équation (E), on a x^2 -8y^2=1, donc x^2-1=8y^2=2^3y^2, donc x^2-1 est un nombre puissant d’après la question précédente.

Question 4

D’après la partie A, l’équation (E) admet une infinité de couple solutions. On sait que pour ces couples les x_n sont différents.

D’après la question 3 de la partie B, si x est solution de l’équation (E) alors x^2 et x^2-1 sont des nombres puissants. On a donc une infinité d’entiers consécutifs x^2-1, x^2 qui sont puissants.

Pour trouver les couples supérieurs à 2018 on calcule les premiers termes des suites (x_n;y_n)

On a (x_0;y_0)=(1;0) et (x^2-1,x^2)=(0,1)

(x_1;y_1)=(3;1) et (x^2-1,x^2)=(8,9)

(x_2;y_2)=(17;6) et (x^2-1,x^2)=(288,289)

(x_2;y_2)=(99;35) et (x^2-1,x^2)=(9800,9801)

On en conclut que (9800,9801) est un couple d’entiers consécutifs puissants.

 

Voilà qui conclut la correction de l’exercice de spécialité maths S 2018.

Pour t’entraîner davantage à l’épreuve de mathématiques, n’hésite pas à consulter le corrigé du bac de maths S 2018 disponible ici . Le sujet de 2019 est disponible avec son corrigé ici. Et si tu as un trou de mémoire, tu trouveras des fiches sur quasiment tout le programme sur le site ! Le corrigé de l’exercice de spécialité du bac 2019 est lui disponible ici.

 

 

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Etudiante en double diplôme, j'ai fais une prépa MPSI/PSI* avant d'intégrer l'ENSTA Paris. J'ai ensuite rejoint HEC.