Tout savoir sur la dérivation (spécialité mathématiques)

Nicolas Doan

7 août 202024 septembre 2020

Dans cet article, nous allons te présenter la notion de dérivation. Plus particulièrement, à la fin de cette lecture, tu auras balayé les notions essentielles sur la dérivation d’un point de vue local comme global avec des applications concrète dans la vie de tous les jours. En préambule, nous te conseillons de lire l’article traitant des limites de fonctions pour pouvoir être plus à l’aise dans la compréhension de la dérivation.

Dérivation: Point de vue local

Définition: Taux de variation

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ et $a$ un réel de cet intervalle.

Soit $h \ne 0$ un nombre réel tel que $a+h$ appartienne à $I$ .

On appelle taux de variation de $f$ en $a$ le nombre :

$$\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$$

Interprétation géométrique du taux de variation

Soit A et M d’abscisses respectives $a$ et $a+h$ de la courbe représentative de $f$ .

Le coefficient directeur de la droite (AM) est donné par:

$$\frac{y_M-y_A}{x_M-x_A} = \frac{f(a+h)-f(a)}{(a+h)-a} = \frac{f(a+h)-f(a)}{h}$$

Le taux de variation de $f$ en $a$ représente le coefficient directeur de la droite (AM).

Définition: Nombre dérivé

On définit le nombre dérivé très facilement grâce au taux de variation.

En reprenant les même hypothèses concernant $f$ , $h$ et $a$ énoncé précédemment, on peut démontrer que:

$f$ est dérivable en $a$ si le taux de variation de $f$ en $a$ admet pour limite un nombre réel lorsque $h$ tend vers $0$ .
On note ce nombre $f'(a)$ , c’est la dérivé de $f$ en $a$ . On a alors:

$$f'(a)=\lim\limits_{h \to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$$

Tangente à la courbe en un point

Dans cette partie nous allons voir l’application graphique de la dérivation.

Conservons notre fonction $f$ du début défini sur un intervalle $I$ et $a$ un réel de cet intervalle. Nous allons appelé $C$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans le plan.

Si la fonction $f$ est dérivable en $a$ , alors la tangente à $C$ au point $A(a;f(a))$ est la droite passant par $A$ et de coefficient directeur (ce qu’on appelle la pente de la droite) $f'(a)$ .

D’autre part, au point d’abscisse $a$ ,que l’on a noté $A$ , la tangente à la courbe $C$ a pour équation:

$$y=f'(a)(x-a)+f(a)$$

Astuce:

Dans les exercices, il arrive que l’expression analytique de $f$ ne soit pas donné explicitement, mais que juste sa représentation graphique soit donnée. Il faut alors trouver par lecture graphique le nombre dérivé (la pente) pour trouver l’équation de la tangente.

Il faut aussi savoir que d’après l’expression de la tangente, les tangentes horizontale ont pour coefficient directeur zéro.

Dérivation: Point de vue global

Après avoir étudier la dérivabilité d’une fonction d’un point de vue local, nous allons maintenant généraliser les notions et prendre le point de vue global.

Une fonction $f$ défini sur un intervalle $I$ est dérivable sur $I$ si elle est dérivable en tout point $x$ appartenant à $I$ .

On note alors $f'$ la fonction dérivée de $f$ .

Ci-après un récapitulatif des fonctions dérivées usuelles à connaître:

Fonction $f$	Ensemble de définition	Ensemble de dérivabilité	Fonction $f'$
Fonction constante, $f(x)=k$ (k réel)	$R$	$R$	$f'(x)=0$
Fonction affine, $f(x)=ax+b$ (a et b réel)	$R$	$R$	$f'(x)=a$
$f(x)=x^2$	$R$	$R$	$f'(x)=2x$
$f(x)=x^3$	$R$	$R$	$f'(x)=3x^2$
$f(x)=1/x$	$R^*$	$R^*$	$f'(x)=-1/x^2$
$f(x)=\sqrt{x}$	[0 ; +∞[	]0 ; +∞[	$f'(x)= \frac{1}{2\sqrt{x}}$
$f(x)=x^n$ (n entier)	$R$	$R$	$f'(x)=nx^{n-1}$

Opération sur les fonctions dérivables

Dans la résolution des exercices de dérivation, il est nécessaire de savoir bien manipuler les opérations sur les fonctions dérivables:

Opération (u et v, 2 fonctions dérivables)	Dérivée
$(u+v)'$	$u' + v'$
$(ku)'$ (avec k réel)	$ku'$
$(uv)'$	$u'v + uv'$
$(1/v)'$	$-v'/v^2$
$(u/v)'$	$(u'v - uv')/v^2$

Point sur la fonction valeur absolue

La fonction valeur absolue est la fonction : $$f(x)=|x|$$

où $|x|= -x$ si $x \le 0$ et $x$ si $x \ge 0$

Elle a comme courbe caractéristique:

Cette fonction a pour particularité de ne pas être dérivable en zéro tout comme la fonction racine carré.

Conclusion

La dérivation est un outil très pratique et utilisé dans l’analyse des fonctions. Il permet de comprendre le comportement des fonctions, leurs croissances et décroissances. Ainsi, la maîtrise des formules ainsi que des méthodes sont essentiel pour la bonne résolution des exercices.