Dans cet article, nous allons te présenter la notion de dérivation. Plus particulièrement, à la fin de cette lecture, tu auras balayé les notions essentielles sur la dérivation d’un point de vue local comme global avec des applications concrète dans la vie de tous les jours. En préambule, nous te conseillons de lire l’article traitant des limites de fonctions pour pouvoir être plus à l’aise dans la compréhension de la dérivation.
Dérivation: Point de vue local
Définition: Taux de variation
Soit une fonction définie sur un intervalle
et
un réel de cet intervalle.
Soit un nombre réel tel que
appartienne à
.
On appelle taux de variation de en
le nombre :
$$\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$$
Interprétation géométrique du taux de variation
Soit A et M d’abscisses respectives et
de la courbe représentative de
.
Le coefficient directeur de la droite (AM) est donné par:
$$\frac{y_M-y_A}{x_M-x_A} = \frac{f(a+h)-f(a)}{(a+h)-a} = \frac{f(a+h)-f(a)}{h}$$
Le taux de variation de en
représente le coefficient directeur de la droite (AM).
Définition: Nombre dérivé
On définit le nombre dérivé très facilement grâce au taux de variation.
En reprenant les même hypothèses concernant ,
et
énoncé précédemment, on peut démontrer que:
est dérivable en
si le taux de variation de
en
admet pour limite un nombre réel lorsque
tend vers
.
- On note ce nombre
, c’est la dérivé de
en
. On a alors:
$$f'(a)=\lim\limits_{h \to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$$
Tangente à la courbe en un point
Dans cette partie nous allons voir l’application graphique de la dérivation.
Conservons notre fonction du début défini sur un intervalle
et
un réel de cet intervalle. Nous allons appelé
la courbe représentative de la fonction
dans le plan.
Si la fonction est dérivable en
, alors la tangente à
au point
est la droite passant par
et de coefficient directeur (ce qu’on appelle la pente de la droite)
.
D’autre part, au point d’abscisse ,que l’on a noté
, la tangente à la courbe
a pour équation:
$$y=f'(a)(x-a)+f(a)$$
Astuce:
Dans les exercices, il arrive que l’expression analytique de ne soit pas donné explicitement, mais que juste sa représentation graphique soit donnée. Il faut alors trouver par lecture graphique le nombre dérivé (la pente) pour trouver l’équation de la tangente.
Il faut aussi savoir que d’après l’expression de la tangente, les tangentes horizontale ont pour coefficient directeur zéro.
Dérivation: Point de vue global
Après avoir étudier la dérivabilité d’une fonction d’un point de vue local, nous allons maintenant généraliser les notions et prendre le point de vue global.
Une fonction défini sur un intervalle
est dérivable sur
si elle est dérivable en tout point
appartenant à
.
On note alors la fonction dérivée de
.
Ci-après un récapitulatif des fonctions dérivées usuelles à connaître:
Fonction |
Ensemble de définition | Ensemble de dérivabilité | Fonction |
Fonction constante, |
|||
Fonction affine, |
|||
[0 ; +∞[ | ]0 ; +∞[ | ||
Opération sur les fonctions dérivables
Dans la résolution des exercices de dérivation, il est nécessaire de savoir bien manipuler les opérations sur les fonctions dérivables:
Opération (u et v, 2 fonctions dérivables) | Dérivée |
Point sur la fonction valeur absolue
La fonction valeur absolue est la fonction : $$f(x)=|x|$$
où si
et
si
Elle a comme courbe caractéristique:
Cette fonction a pour particularité de ne pas être dérivable en zéro tout comme la fonction racine carré.
Conclusion
La dérivation est un outil très pratique et utilisé dans l’analyse des fonctions. Il permet de comprendre le comportement des fonctions, leurs croissances et décroissances. Ainsi, la maîtrise des formules ainsi que des méthodes sont essentiel pour la bonne résolution des exercices.
A lire aussi: Comment traiter un exercice d’étude de fonction