Tout savoir sur la dérivation (spécialité mathématiques)

Dans cet article, nous allons te présenter la notion de dérivation. Plus particulièrement, à la fin de cette lecture, tu auras balayé les notions essentielles sur la dérivation d’un point de vue local comme global avec des applications concrète dans la vie de tous les jours. En préambule, nous te conseillons de lire l’article traitant des limites de fonctions pour pouvoir être plus à l’aise dans la compréhension de la dérivation.

 

Dérivation: Point de vue local

Définition: Taux de variation

Soit une fonction définie sur un intervalle et un réel de cet intervalle.

Soit un nombre réel tel que appartienne à .

On appelle taux de variation de en le nombre :

$$\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$$

 

Interprétation géométrique du taux de variation

Soit A et M d’abscisses respectives et de la courbe représentative de .

Le coefficient directeur de la droite (AM) est donné par:

$$\frac{y_M-y_A}{x_M-x_A} = \frac{f(a+h)-f(a)}{(a+h)-a} = \frac{f(a+h)-f(a)}{h}$$

Le taux de variation de en représente le coefficient directeur de la droite (AM).

 

Définition: Nombre dérivé

On définit le nombre dérivé très facilement grâce au taux de variation.

En reprenant les même hypothèses concernant , et énoncé précédemment, on peut démontrer que:

• est dérivable en si le taux de variation de en admet pour limite un nombre réel lorsque tend vers .
• On note ce nombre , c’est la dérivé de en . On a alors:

$$f'(a)=\lim\limits_{h \to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$$

 

Tangente à la courbe en un point

Dans cette partie nous allons voir l’application graphique de la dérivation. 

Conservons notre fonction du début défini sur un intervalle et  un réel de cet intervalle. Nous allons appelé  la courbe représentative de la fonction dans le plan.

 

Si la fonction est dérivable en , alors la tangente à  au point est la droite passant par  et de coefficient directeur (ce qu’on appelle la pente de la droite) .

D’autre part, au point d’abscisse ,que l’on a noté , la tangente à la courbe a pour équation:

$$y=f'(a)(x-a)+f(a)$$

Astuce:

Dans les exercices, il arrive que l’expression analytique de ne soit pas donné explicitement, mais que juste sa représentation graphique soit donnée. Il faut alors trouver par lecture graphique le nombre dérivé (la pente) pour trouver l’équation de la tangente.

Il faut aussi savoir que d’après l’expression de la tangente, les tangentes horizontale ont pour coefficient directeur zéro.

 

Dérivation: Point de vue global

Après avoir étudier la dérivabilité d’une fonction d’un point de vue local, nous allons maintenant généraliser les notions et prendre le point de vue global.

Une fonction défini sur un intervalle est dérivable sur si elle est dérivable en tout point appartenant à .

On note alors la fonction dérivée de .

Ci-après un récapitulatif des fonctions dérivées usuelles à connaître:

 

Fonction	Ensemble de définition	Ensemble de dérivabilité	Fonction
Fonction constante, (k réel)
Fonction affine, (a et b réel)
	[0 ; +∞[	]0 ; +∞[
(n entier)

 

Opération sur les fonctions dérivables

Dans la résolution des exercices de dérivation, il est nécessaire de savoir bien manipuler les opérations sur les fonctions dérivables:

Opération (u et v, 2 fonctions dérivables)	Dérivée
(avec k réel)

 

Point sur la fonction valeur absolue

La fonction valeur absolue est la fonction : $$f(x)=|x|$$

où si et si

Elle a comme courbe caractéristique:

Cette fonction a pour particularité de ne pas être dérivable en zéro tout comme la fonction racine carré.

 

Conclusion

La dérivation est un outil très pratique et utilisé dans l’analyse des fonctions. Il permet de comprendre le comportement des fonctions, leurs croissances et décroissances. Ainsi, la maîtrise des formules ainsi que des méthodes sont essentiel pour la bonne résolution des exercices.

 

A lire aussi: Comment traiter un exercice d’étude de fonction