Comment traiter un exercice d’étude de fonction?

Le bac de maths approche et il est maintenant temps de s’attaquer aux annales. En effet, pour bien préparer l’examen, il est primordial de s’entraîner sur d’anciens sujets.

Les sujets des années passées ainsi que des corrigés sont disponibles sur le site ici : http://major-bac.com/category/mathematiques/.

Les sujets se ressemblent et quasi la totalité contient un exercice d’étude de fonction. Il est donc primordial de savoir traiter ce type d’exercice.

Vous trouverez ici une fiche indispensable à votre kit de survie. Elle contient toutes les définitions, formules et théorèmes liés à la dérivabilité ou à la continuité.

Comment traiter une étude de fonction ?

Pas de panique, le jour J vous serez guidé. Le sujet comportera plusieurs questions pour mener à bien l’étude de fonction. Ici nous allons faire l’étude complète afin de passer en revue toutes les méthodes dont vous disposez.

Dans cet exemple nous utiliserons la fonction f(x) = x^2 - 4\sqrt(x)

Voila à quoi ressemble la fonction

Représentation de la fonction f
Représentation de la fonction f

On commence par trouver le domaine de définition s’il n’est pas donné.

Pour cela, on décompose la fonction en fonctions élémentaires, et on identifie le domaine de définition de chacun de ces éléments. Ici on a x^2 qui est définie sur \mathbb{R} et \sqrt(x) qui est définie sur \mathbb{R^+}. Le domaine de définition de la fonction est l’intersection des domaines précédemment identifiés. La fonction est donc définie sur \mathbb{R^+}.

On définit ensuite le domaine d’étude de la fonction.

Si la fonction est paire, c’est à dire f(x) = f(-x), ou impaire f(x)=-f(-x). Le domaine d’étude peut-être réduit. On complétera ensuite l’étude de la fonction par symétrie. Par exemple si on étudie la fonction x^2 qui est paire, on peut se contenter de l’étudier sur \mathbb{R^+} puis compléter par symétrie.

On détermine ensuite le domaine de dérivabilité.

Attention domaine de définition et de dérivabilité ne sont pas toujours égaux. On procède comme pour trouver le domaine de définition. Ici la fonction x^2 est dérivable sur \mathbb{R} et la fonction \sqrt{x} sur \mathbb{R^*_+}. La fonction est donc dérivable sur \mathbb{R^*_+}.

On calcule alors la dérivée sur le domaine de dérivabilité.

On vient de dire que la fonction est dérivable sur \mathbb{R^*_+}. On a \forall x \in \mathbb{R^*_+} , f'(x) = 2x - \frac{4}{2 \sqrt{x}}.

On étudie ensuite le signe de cette dérivée et on cherche s’il existe une valeur de x pour laquelle elle s’annule.

On cherche donc à résoudre 2x - \frac{4}{2 \sqrt{x}}= 0. Cela revient à résoudre x = \frac{1}{\sqrt{x}} . La solution de cette équation est x=1. La dérivée est donc négative entre 0 et 1 et positive au delà de 1.

On en déduit le début du tableau de variation.

Il ne reste qu’à compléter avec le calcul de la valeur en 0 en 1 et le calcul de la limite en l’infini.

On a f(0) = 0^2 - 4 \sqrt{0}= 0, f(1) = 1^2 - 4 \sqrt{1}= 3.

Pour la limite, il faut factoriser l’expression. On peut récrire f(x) = \sqrt{x} (x \sqrt{x}-1).

On sait que \lim\limits_{x \rightarrow +\infty} \sqrt{x} = + \infty .

De plus \lim\limits_{x \rightarrow +\infty} x = + \infty .

Donc \lim\limits_{x \rightarrow +\infty} x \sqrt{x} = + \infty .

On en déduit donc \lim\limits_{x \rightarrow +\infty} f(x) = + \infty .

Le tableau de variation est maintenant complet.

L’étude de fonction est donc terminée, voici le tableau complet. 

 

Entraînez vous avec des exercices et n’hésitez pas à consulter nos autres fiches d’aide pour le BAC.

Vous pouvez vous entraîner sur des sujets d’annale le sujet/corrigé du bac de maths S 2018 disponible ici . Le sujet de 2019 est disponible avec son corrigé ici.