Un exercice sur les matrices pas à pas (spécialité maths expertes)

Autrefois au programme de spécialité en classe de terminale, les matrices font désormais parties du programme d’option de mathématiques expertes. Cependant, ces notions sont assez éloignées de ce que l’on voit en maths au lycée. Si tu choisis cette option, il faudra donc y consacrer un peu de temps et les travailler.

Les notions ne sont pas dures, il faut juste faire des exercices pour les manipuler et se les approprier. C’est pour ça que nous te proposons un corrigé très détaillé d’un exercice portant sur les matrices. Le sujet est disponible ici : Sujet bac maths 2019 spé maths et tu pourras trouver le corrigé des autres exercices est ici.

 

L’exercice sur les matrices, corrigé pas à pas

On s’intéresse aux matrices A  de la forme

$$A = \begin{pmatrix}
a & b\\
c & d
\end{pmatrix}$$

qui vérifient ad-bc = 1.

 

Partie A

Question 1

Soit la matrice

$$A = \begin{pmatrix}
6 & 5\\
-5 & -4
\end{pmatrix}$$

Alors 6 \times -4 + 5 \times -5 = - 24 + 25 =1. Donc la matrice A appartient bien à l’ensemble S.

 

Question 2

Soit A les matrices de la forme

$$A = \begin{pmatrix}
a & 2\\
3 & d
\end{pmatrix}$$

Les matrices A appartient à S si et seulement si ab - 6 = 1. Donc ad=7.

Comme 7 est un nombre premier il n’y a que 4 possibilités

$$A_1 = \begin{pmatrix}
1 & 2\\
3 & 7
\end{pmatrix}$$

$$A_2 = \begin{pmatrix}
-1 & 2\\
3 & -7
\end{pmatrix}$$

$$A_3 = \begin{pmatrix}
-7 & 2\\
3 & -1
\end{pmatrix}$$

$$A_4 = \begin{pmatrix}
7 & 2\\
3 & 1
\end{pmatrix}$$

 

Question 3a

Cherchons à résoudre dans \mathbb{Z} l’équation 5x-2y=1. Une solution particulière est (1;2).

On a donc

$$
\left\{\begin{array}{l}
5 x-2 y=1 \\
5 \times 1-2 \times 2=1
\end{array}\right.
$$

Par soustraction de la ligne 2 à la 1 et on obtient 5(x-1) - 2(y-2) = 0. Ce qu’on peut réécrire 5(x-1) = 2(y-2). Donc 5 divise 2(y-2). Or 5 et 2 sont premiers entre eux. D’après le théorème de Gauss 5 divise donc y-2.

On peut donc écrire 5k=y-2, avec k un entier relatif non nul.

Ainsi, on peut donc écrire que y=5k+2.

Ensuite, on réinjecte alors cela dans l’équation de départ et on trouve : 5(x-1) = 10k.

Donc on en déduit que x = 2k+1.

L’ensemble des solutions peut donc s’écrire \mathbb{S}= ((2k+1, 5k+2), k \in \mathbb{Z}).

 

Question 3b

On considère les matrices A de la forme

$$A = \begin{pmatrix}
a & b\\
2 & 5
\end{pmatrix}$$

Les matrices A appartiennent à l’ensemble S si et seulement si 5a - 2b = 1. Ce qui revient à résoudre l’équation de la question précédente. D’après la réponse à la question 3a il y a une infinité de solutions à cette équation. Les matrices A solution sont de la forme :

$$A = \begin{pmatrix}
2k+1 & 5k+2\\
2 & 5
\end{pmatrix}$$

 

Partie B

Dans cette partie, on note A une matrice appartenant à S. On rappelle que a,b,c,d sont des entiers relatifs et que ad-bc = 1. A est de la forme

$$A = \begin{pmatrix}
a & b\\
c & d
\end{pmatrix}$$

Question 1

Le théroème de Bezout nous dit que deux entiers relatifs sont premiers entre eux si et seulement si, il existe deux entiers relatifs u et v tels que au-bv=1. On en déduit donc que a et b sont premiers entre eux puisque ad-bc = 1.

 

Question 2a

Soit la matrice B

$$B = \begin{pmatrix}
d & -b\\
-c & a
\end{pmatrix}$$

On a $$AB= \begin{pmatrix}
ad-bc & -ab+ba\\
cd – cd & -cb +ab
\end{pmatrix}$$

$$= \begin{pmatrix}
1 & 0\\
0 & 1
\end{pmatrix}$$

 

Question 2B

D’après la question précédente, on a trouvé une matrice B telle que AB=BA = I_2

On en déduit que la matrice A est inversible et que A^{-1}=B.

 

Question 2c

D’après la question précédente, A^{-1}=B.

Donc $$A^{-1} = \begin{pmatrix}
d & -b\\
-c & a
\end{pmatrix}$$

On a donc da-(c)(-b)=ad-bc=1. Donc A^{-1} appartient à S.

 

Question 3a

Soient x et y deux entiers relatifs. On note x’ et y’ les entiers relatifs tels que :

$$\left(\begin{array}{l}
x^{\prime} \\
y^{\prime}
\end{array}\right)=A\left(\begin{array}{l}
x \\
y
\end{array}\right)$$

On calcule le produit :

$$\left(\begin{array}{l}
x^{\prime} \\
y^{\prime}
\end{array}\right)=A\left(\begin{array}{l}
x \\
y
\end{array}\right) = \left(\begin{array}{l}
ax +by \\
cx+dy
\end{array}\right)$$

Pour trouver l’égalité demandée par l’énoncé, il faut se débarrasser des y, on multiplie la première ligne par d et la deuxième par b et on soustrait la ligne 2 à la ligne 1. On obtient

dx'-by'=adx-bcx+bdy-bdy=(ad-bc)x=x.

 

Question 3b

On note D le PGCD de x et y et D’ celui de x’et y’.

Comme D’ est le PGCD de x’ et y’, il divise x’ et y’. Or d’après la question précédente on a dx'-by'=x. Donc D’ divise x. De même, y=ay'+cx', donc D’ divise aussi y’. Donc D’ est un diviseur commun de x et y. Par conséquent, il divise D.

De meme, D est le PGCD de x et y donc il divise x et y or  x'=ax +by . Alors D divise x’ et y'=cx+dy. Donc D divise y’. Donc D divise D’.

On a donc  D=+D' ou D=-D', mais les PGCD sont des nombres positifs donc D=D'

 

Question 4

Considérons la matrice A

Donc $$A = \begin{pmatrix}
2 & 3\\
1 & 2
\end{pmatrix}$$

Cette matrice A appartient bien à S.

On peut écrire :

$$\left(\begin{array}{l}
x_{n+1} \\
y_{n+1}
\end{array}\right)=A\left(\begin{array}{l}
x_n \\
y_n
\end{array}\right)$$

Montrons par récurrence que PGCD(x_0,y_0)= PGCD(x_n,y_n).

Initialisation : au rang 1, d’après la question précédente on a bien PGCD(x_0,y_0)= PGCD(x_1,y_1).

Hérédité : soit n \in \mathbb{N}, suppose que P(n) soit vraie.

D’après la question précédente PGCD(x_{n+1},y_{n+1})= PGCD(x_n,y_n).

Or d’après l’hypothèse de récurrence PGCD(x_0,y_0)= PGCD(x_n,y_n), donc PGCD(x_{n+1},y_{n+1})= PGCD(x_0,y_0).

Par conséquent P(n+1) est vérifiée.

Par principe de récurrence on vient de démontrer que PGCD(x_0,y_0)= PGCD(x_n,y_n).

Or 2019 = 3 \times 673

Donc = PGCD(x_n,y_n)= PGCD(x_0,y_0)=673.

 

Voilà qui conclut la correction de cet exercice du bac 2019 sur les matrices.

Pour t’entraîner davantage à l’épreuve spé maths, n’hésite pas à consulter le corrigé du bac de maths S 2018 disponible ici . Le sujet du bac 2019 est disponible avec son corrigé ici. Et si tu as un trou de mémoire, tu trouveras des fiches sur quasiment tout le programme sur le site ! Si tu es intéressé par la prépa économique et commerciale, sache que nous avons également des fiches sur les matrices sur Major-Prépa.

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Etudiante en double diplôme, j'ai fais une prépa MPSI/PSI* avant d'intégrer l'ENSTA Paris. J'ai ensuite rejoint HEC.