FAQ du 25/03 : Nos réponses à vos questions Instagram en maths

Merci d’avoir été aussi nombreux à nous poser vos questions en maths sur Instagram. N’hésitez pas à en poser de nouvelles cette semaine, notre rédaction y répondra avec plaisir !

Comment fait-on une étude de signe ?

Je suppose que cette question fait référence aux études de signe d’un polynôme du second degré. On vous prépare une petite vidéo pour traiter cette question. Mais la méthode est toujours la même si l’on souhaite étudier le signe du polynôme p(x)=ax^2+bx+c, on commence par calculer le discriminant \Delta = b^2-4ac.

  • si \Delta >0 alors il y a 2 racines et le polynôme est du signe de a à l’extérieur des racines, et du signe opposé entre les racines
  • si \Delta <0 il n’y a pas de racine, le polynôme est toujours du signe de a et ne s’annule jamais
  • si \Delta = 0, le polynôme est toujours du signe de a et s’annule en x=-\frac{-b}{2a}.

Exemple : on veut étudier le signe de p(x)=x^2-3x-4.

On a \Delta = b^2-4ac= 9+16=25.

Il y a 2 racines réelles qui sont x_1=\frac{3+5}{2a}=4 et x_2=\frac{3-5}{2a}=-1

On en déduit que le polynôme est du signe de a c’est à dire 1 donc positif sur ]- \infty ; -1[ et ]4; + \infty[ et négatif sur ]-1;4[.

Suite arithmético géométrique : comment trouver et prouver sa raison ?

Les suites arithmético-géométriques ne sont pas officiellement au programme et pourtant on les retrouve dans la grande majorité des exercices et des sujets de bac qui traient des suites. Kézako ? C’est une suite qui n’est ni vraiment géométrique ni vraiment arithmétique, elle est un peu des deux à la fois.

Elle s’écrit \forall n\in\mathbb{N}, u_{n+1}=a \, u_n+b

Le cas où a=1 correspond au cas où la suite est arithmétique, et est traité dans votre cours.

Le cas où a\neq 1 correspond au cas d’une suite arithmético géométrique.

On a alors r=\frac b{1-a}, qui nous permet de calculer la raison et \forall n\in\mathbb{N}, u_n=a^n(u_0-r)+r.

Ces formules ne sont pas officiellement au programme et ne sont donc pas à connaitre par cœur, la démonstration sera toujours demandée et guidée !

HELP Géométrie dans l’espace ?

Voilà une question un peu vague. La géométrie dans l’espace, c’est juste un ensemble de technique à maîtriser pour savoir traiter les exercices qui se ressemblent tous… Nous t’avons fait une petite fiche avec la base que tu dois maitriser sur le bout des doigts : ici.

Résumons ici les choses primordiales à connaître :

  • équation cartésienne d’une droite y=ax+b
  • équation paramétrique d’une droite : $$ \left\{\begin{array}{l}{x =x_A + t x_u} \\ {y =y_A + t y_u, t \in \mathbb{R}} \\ {z = z_A+t z_u} \end{array}\right. $$
  • équation cartésienne d’un plan ax+by+cz+d=0
  • équation paramétrique d’un plan $$\left\{\begin{array}{l}{x =x_A + t x_u +t’ x_v} \\ {y =y_A + t y_u + t’ y_v, t, t’\in \mathbb{R}} \\ {z = z_A+t z_u+t’ z_v} \end{array}\right. $$
  • un point appartient à un objet s’il vérifie l’équation de cet objet
  • deux droites (ou plans) peuvent être confondues, sécantes ou parallèles et c’est tout !

Pour progresser il faut manipuler ces concepts jusqu’à être à l’aise avec. Voici donc 2 exercices de bac qui te permettront de t’entraîner en maths :

Ex 2 maths bac 2017 S

On commence avec l’exercice 2 du bac S 2017 donc le corrigé est disponible ici :

Maths bac s

Et l’exercice 2 du bac S 2016 donc le corrigé est disponible ici 

Comme vous le voyez il vaut maîtriser le sujet pour le jour J ….

HELP Calcul des aires avec des primitives ? Des précisions sur le calcul intégral ?

Tout ce que vous devez savoir sur les intégrales est !

On te rappelle le théorème de base si F est une primitive de f alors \int_{a}^{b} f(x) \, \mathrm{d}x = [F(t)]_a^b = F(b) - F(a).

Et on te redonne le tableau des primitives usuelles

$$\begin{array}{|c|c|c|}
\hline \text { Fonction } & \text { Primitive } & \text { Intervalle } \\
\hline f(x)=a & F(x)=a x & \mathrm{R} \\
\hline f(x)=x & F(x)=\frac{x^{2}}{2} & \mathrm{R} \\
\hline f(x)=x^{n} & F(x)=\frac{x^{n+1}}{n+1} & \mathrm{R} \\
\hline f(x)=\frac{1}{x} & F(x)=\ln x & | 0 ;+\infty[ \\
\hline f(x)=\frac{1}{x^{n}} \quad n \neq 1 & F(x)=-\frac{1}{(n-1) x^{n-1}} & ]-\infty ; 0[\text { ou }] 0 ;+\infty[ \\
\hline f(x)=\sqrt{x} & F(x)=\frac{1}{2 \sqrt{x}} & \mathrm{R}_{+}^{*} \\
\hline f(x)=\sin x & F(x)=-\cos x & \mathrm{R} \\
\hline f(x)=\cos x & F(x)= \sin x & \mathrm{R} \\
\hline f(x)=e^{x} & F(x)=e^{x} & \mathrm{R} \\
\hline
\end{array}$$

Si déjà tu maîtrises ces formules tu as fait une bonne partie du travail !

HELP La dérivée d’une intégrale

Les intégrales semblent être un chapitre très flou. La dérivée d’une intégrale c’est l’une des formules élémentaires, on parle parfois de théorème fondamental de l’intégration : si f est une fonction continue sur [a;b], alors la fonction F définie par \displaystyle F(x) = \int_{a}^{x} f(t) \, \mathrm{d}t est dérivable sur cet intervalle et F'=f.

HELP les lois uniformes ?

Il existe 2 lois uniformes en maths. La première est loi de probabilité discrète. On parle de loi uniforme quand toutes les issues élémentaires ont la même probabilité d’arriver. C’est le cas dans le jeu du dé. On a 1 chance sur 6 d’obtenir chaque nombre. Si N est le nombre d’événements possibles, la probabilité de chaque événement est P(A)= \frac{1}{N}

La loi uniforme sur un segment est une loi de probabilité continue.  La variable aléatoire X suit une loi uniforme sur l’intervalle [a;b] si elle admet la fonction f pour densité de probabilité définie par

$$ f(t)=\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{b-a} \text { si } t \in[a, b]} \\ {0 \text { sinon }}\end{array}\right. $$

On note X \hookrightarrow \mathcal{U} ([a;b])

Graphiquement cela correspond à la courbe ci dessous

La loi uniforme maths
Densité de probabilité d’une loi uniforme

La fonction de répartition F est alors définie par :

$$
F(x)=p(X \leq x)=\int_{-\infty}^{x} f(t) d t=\left\{\begin{array}{l}{0 \text { si } x<a} \\ {\frac{x-a}{b-a} \text { si } a \leq x \leq b} \\ {1 \text { si } x>b}\end{array}\right.
$$

X admet alors pour espérance

$$E(X) = \frac{a+b}{2} $$

Les variables aléatoires

On continue sur les probas !

Une variable aléatoire sert à modéliser une expérience. C’est une fonction définie sur un univers \Omega et à valeur dans \mathbb{R}.

Par exemple, on peut définir la variable aléatoire X qui prend pour valeur le nombre obtenu en lançant le dé. X prend alors les valeurs {1, 2, 3, 4, 5,6}.

La loi de probabilité associe à toute valeur x_i que prend X une probabilité P(X=x_i).

Ici X suit une loi uniforme \forall i \in {1,2,3,4,5,6}, P(X=x_i) = \frac{1}{6}.

On peut également définir la variable alétoire Y qui correspond au nombre de lancers réussis sur une série de 50 lancers. Y suit aller une loi binomiale !

L’espérance correspond à la valeur moyenne que l’on peut espérer atteindre si l’on répète l’expérience un grand nombre de fois. Elle est notée E(X).

$$E(X) = \sum_{i=1}^{n} p_{i} x_{i}$$

La variance est elle notée V(X) et vaut :

$$V(X) = \sum_{i=1}^{n} p_{i}\left(x_{i}-E(\mathrm{X})\right)^{2} $$

HELP Calcul d’angles avec les complexes

Notre cours de maths sur les complexes est disponible ici.

Dans cette vidéo on t’explique comment passer d’une forme algébrique à une forme exponentielle et donc à calculer l’argument :

Pour faire des calculs d’angles il faut toujours se ramener au calcul de l’argument.

Pour rappel on a les formules suivantes :

  • arg(zz') = arg(z) + arg(z') [2 \pi]
  • arg(\frac{z}{z'}) = arg(z) - arg(z') [2 \pi]
  • e^{i\theta} e^{i\theta '}= e^{i(\theta + \theta')}
  • \frac{e^{i \theta}}{e^{i \theta '}}= e^{i (\theta - \theta')}
  • \cos (\theta) = \frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}}
  • \sin (\theta) = \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}

Comment réussir les exercices de maths sur le logarithme népérien ?

Le plus souvent il suffit d’appliquer les règles de base sur le calcul du logarithme, notre fiche du cours de maths sur le logarithme est disponible ici.

On a les propriétés de calcul suivantes !

  • ln(ab)=ln(a) + ln(b)
  • ln(\frac{1}{b})=-ln(b)
  • ln(a^{\alpha})= \alpha ln(a), avec \alpha \in \mathbb{Q}
  • ln(\frac{a}{b})= ln(a)-ln(b)

Exemple simplifions :

$$ln(16) + 2 × ln(3) − ln(24)$$

On a ln(16) = ln(4 \times 4) = ln(4) + ln(4)
ln(24) = ln(6 \times 4) = ln(6) + ln(4)
$$ ln(16) + 2 × ln(3) − ln(24) = ln(4) + 2 \times ln(3) − ln(6)= ln(4×96 ) = ln(366 ) = ln(6)$$

 

 

Bon courage dans vos révisions, continuez à poser vos questions, nous y répondrons avec plaisir. N’hésitez pas à fouiller le site pour trouver plein de fiches de maths et réviser en toute tranquillité le bac !

Poursuis ta lecture sur ces sujets

Etudiante en double diplôme, j'ai fais une prépa MPSI/PSI* avant d'intégrer l'ENSTA Paris. J'ai ensuite rejoint HEC.