Ici, nous allons parler des fonctions de base et en particulier de la fonction exponentielle. Si vous avez choisi la spécialité mathématiques en Première, cet article est donc fait pour vous ! Il est nécessaire de bien la comprendre (définition, courbe, propriétés) pour pouvoir réussir vos exercices d’étude de fonction !
D’ailleurs, pour apprendre comment les réussir, n’oublie pas de consulter cette fiche ! Tu retrouveras aussi une fiche sur la fonction logarithme ici. Pour les fonctions sinus et cosinus, il faudra cliquer ici. Au programme aujourd’hui :
- la définition de l’exponentielle
- son domaine de dérivabilité, savoir intégrer et dériver la fonction exponentielle
- connaître ses limites
- la fonction puissance
Définition de la fonction exponentielle
L’exponentielle (ou fonction exponentielle) est définie comme l’unique fonction continue et dérivable sur qui vérifie
et
.
On note cette fonction . Pour tout réel x, on note
. On lit exponentielle x ou exponentielle de x mais pas exponentielle puissance x.
Regardons quoi ressemble cette fonction :
Propriétés de la fonction exponentielle
En regardant le graphe de la fonction exponentielle on peut remarquer quelques propriétés :
- Elle est définie sur
- La fonction est à valeurs positives,
- Elle est strictement croissante sur
- On a
Comment la dériver et l’intégrer
En regardant la définition de la fonction exponentielle, on note que la fonction est dérivable sur et que f’=f.
Par conséquent
En regroupant cela avec les propriétés évoquées précédemment, on en déduit le tableau de variation suivant
On remarquera également que la fonction admet des primitives sur . Une primitive de l’exponentielle est elle même.
Comment l’utiliser
On peut manipuler la fonction exponentielle en appliquant les règles suivantes :
- Les multiplications d’exponentielles:
- Les divisions d’exponentielles :
- Les exponentielles à la puissance :
Ces propriétés sont très importantes à retenir car elles interviennent régulièrement dans les exercices. Pensez à les noter quelques part dans vos fiches pour ne pas les oublier !
Lien entre la fonction exponentielle et la fonction logarithme
La fonction exponentielle et la fonction logarithme sont des fonctions réciproques. C’est à dire qu’on a les égalités suivantes :
$$\forall x \in \mathbb{R}, ln(e^x)=x$$
$$\forall y >0, e^{(ln(y))}=y$$
On peut visualiser ces résultats en regardant les graphiques des 2 fonctions.
La fonction puissance
Considérons un réel strictement positif, et un réel
.
La fonction puissance est la fonction qui associe à tout x la quantité .
Mais on peut exprimer cette quantité à l’aide de la fonction exponentielle:
Regardons les courbes obtenues pour différentes valeurs de a.
On peut distinguer 3 cas qu’on regroupe dans le tableau de variation suivant :
Croissances comparées et taux d’accroissement
Certaines croissances comparées sont à connaître par coeur.
Quel que soit .
On a : $$ \lim\limits_{x \rightarrow +\infty} \frac{x^n}{e^x} = 0$$
On a également : $$ \lim\limits_{x \rightarrow +\infty} \frac{e^x}{x^n} = +\infty$$
Enfin, on a aussi : $$ \lim\limits_{x \rightarrow -\infty} e^x x^n = 0$$
Pour calculer des limites en zéro il faut se souvenir du taux d’accroissement.
$$ \lim\limits_{x \rightarrow 0} \frac{e^x-1}{x}= 1$$
Pour vous entraîner à l’épreuve de mathématiques, n’hésitez pas à consulter le corrigé du bac de maths S 2018 disponible ici ou le sujet de 2019 qui est disponible avec son corrigé ici.