Tout savoir sur la fonction exponentielle

Marine Saint Mezard

21 août 201924 septembre 2020

Nous avons vu comment traiter un exercice d’étude de fonction dans cette fiche. Néanmoins, pour réaliser des études de fonctions, encore faut il maîtriser les fonctions de base. C’est pourquoi je vous propose une petite série d’articles qui vous permettront de revoir ces fonctions de base. Ici nous étudierons la fonction exponentielle, la fonction logarithme est disponible ici, pour les fonctions sinus et cosinus, il faudra cliquer ici.

Ce qu’il faut maîtriser:

la définition de l’exponentielle
son domaine de dérivabilité, savoir intégrer et dériver la fonction
connaître ses limites
la fonction puissance

Définition de la fonction exponentielle

L’exponentielle est définie comme l’unique fonction continue et dérivable sur $\mathbb{R}$ qui vérifie $f'=f$ et $f(0)=1$ .

On note cette fonction $\exp$ . Pour tout réel x, on note $\exp(x)=e^x$ . On lit exponentielle x ou exponentielle de x mais pas exponentielle puissance x.

Regardons quoi ressemble cette fonction:

Propriétés de la fonction exponentielle

En regardant le graphe de la fonction exponentielle on peut remarquer quelques propriétés :

elle est définie sur $\mathbb{R}$
la fonction est à valeurs positives, $\forall x \in \mathbb{R}, e^x>0$
elle est strictement croissante sur $\mathbb{R}$
on a $e^0=1$
$\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} e^x = +\infty$
$\lim\limits_{x \rightarrow -\infty} e^x = 0$

Dériver et intégrer l’exponentielle

En regardant la définition de la fonction exponentielle, on note que la fonction est dérivable sur $\mathbb{R}$ et que f’=f.

Par conséquent $(\exp)'=\exp$

En regroupant cela avec les propriétés évoquées précédemment, on en déduit le tableau de variation suivant

Tableau de variation de la fonction exponentielle

On remarquera également que la fonction admet des primitives sur $\mathbb{R}$ . Une primitive de l’exponentielle est elle même.

Calculer avec l’exponentielle

On peut manipuler la fonction exponentielle en appliquant les règles suivantes :

$e^{a}e^b = e^{a+b}$
$\frac{e^{a}}{e^b}= e^{a-b}$
$(e^{a})^b= e^{ab}$

Lien entre la fonction exponentielle et la fonction logarithme

La fonction exponentielle et la fonction logarithme sont des fonctions réciproques. C’est à dire qu’on a les égalités suivantes :

$$\forall x \in \mathbb{R}, ln(e^x)=x$$

$$\forall y >0, e^{(ln(y))}=y$$

On peut visualiser ces résultats en regardant les graphiques des 2 fonctions.

La fonction puissance

Considérons un réel $x$ strictement positif, et un réel $a$ .

La fonction puissance est la fonction qui associe à tout x la quantité $x^{a}$ .

Mais on peut exprimer cette quantité à l’aide de la fonction exponentielle:

x^{a} = e^{aln(x)}

Regardons les courbes obtenues pour différentes valeurs de a.

On peut distinguer 3 cas qu’on regroupe dans le tableau de variation suivant :

Croissances comparées et taux d’accroissement

Certaines croissances comparées sont à connaître par coeur.

Quel que soit $n \in \mathbb{N*}$ .

$$ \lim\limits_{x \rightarrow +\infty} \frac{x^n}{e^x} = 0$$

$$ \lim\limits_{x \rightarrow +\infty} \frac{e^x}{x^n} = +\infty$$

$$ \lim\limits_{x \rightarrow -\infty} e^x x^n = 0$$

Pour calculer des limites en zéro il faut se souvenir du taux d’accroissement.

$$ \lim\limits_{x \rightarrow 0} \frac{e^x-1}{x}= 1$$

Pour vous entraîner à l’épreuve de mathématiques, n’hésitez pas à consulter le corrigé du bac de maths S 2018 disponible ici ou le sujet de 2019 qui est disponible avec son corrigé ici.