La fonction exponentielle : tout ce qu’il faut savoir

Ici, nous allons parler des fonctions de base et en particulier de la fonction exponentielle. Si vous avez choisi la spécialité mathématiques en Première, cet article est donc fait pour vous ! Il est nécessaire de bien la comprendre (définition, courbe, propriétés) pour pouvoir réussir vos exercices d’étude de fonction !

D’ailleurs, pour apprendre comment les réussir, n’oublie pas de consulter cette fiche ! Tu retrouveras aussi une fiche sur la fonction logarithme ici. Pour les fonctions sinus et cosinus, il faudra cliquer ici. Au programme aujourd’hui :

  • la définition de l’exponentielle
  • son domaine de dérivabilité, savoir intégrer et dériver la fonction exponentielle
  • connaître ses limites
  • la fonction puissance

 

Définition de la fonction exponentielle

L’exponentielle (ou fonction exponentielle) est définie comme l’unique fonction continue et dérivable sur \mathbb{R}  qui vérifie f'=f et f(0)=1.

On  note cette fonction \exp. Pour tout réel x, on note \exp(x)=e^x. On lit exponentielle x ou exponentielle de x mais pas exponentielle puissance x.

Regardons quoi ressemble cette fonction :

Graphique de la fonction exponentielle

 

Propriétés de la fonction exponentielle

En regardant le graphe de la fonction exponentielle on peut remarquer quelques propriétés :

  • Elle est définie sur \mathbb{R}
  • La fonction est à valeurs positives, \forall x \in \mathbb{R}, e^x>0
  • Elle est strictement croissante sur \mathbb{R}
  • On a e^0=1
  • \lim\limits_{x \rightarrow +\infty} e^x = +\infty
  • \lim\limits_{x \rightarrow -\infty} e^x = 0

 

Comment la dériver et l’intégrer

En regardant la définition de la fonction exponentielle, on note que la fonction est dérivable sur \mathbb{R} et que f’=f.

Par conséquent (\exp)'=\exp

En regroupant cela avec les propriétés évoquées précédemment, on en déduit le tableau de variation suivant

Tableau de variation de la fonction exponentielle
Tableau de variation de la fonction exponentielle

On remarquera également que la fonction admet des primitives sur \mathbb{R}. Une primitive de l’exponentielle est elle même.

Comment l’utiliser

On peut manipuler la fonction exponentielle en appliquant les règles suivantes :

  • Les multiplications d’exponentielles: e^{a}e^b = e^{a+b}
  • Les divisions d’exponentielles : \frac{e^{a}}{e^b}= e^{a-b}
  • Les exponentielles à la puissance : (e^{a})^b= e^{ab}

Ces propriétés sont très importantes à retenir car elles interviennent régulièrement dans les exercices. Pensez à les noter quelques part dans vos fiches pour ne pas les oublier !

 

Lien entre la fonction exponentielle et la fonction logarithme

La fonction exponentielle et la fonction logarithme sont des fonctions réciproques. C’est à dire qu’on a les égalités suivantes :

$$\forall x \in \mathbb{R}, ln(e^x)=x$$

$$\forall y >0, e^{(ln(y))}=y$$

On peut visualiser ces résultats en regardant les graphiques des 2 fonctions.

La fonction puissance

Considérons un réel x strictement positif, et un réel a.

La fonction puissance est la fonction qui associe à tout x la quantité x^{a}.

Mais on peut exprimer cette quantité à l’aide de la fonction exponentielle:

$$ x^{a} = e^{aln(x)}$$

Regardons les courbes obtenues pour différentes valeurs de a.

On peut distinguer 3 cas qu’on regroupe dans le tableau de variation suivant  :

Croissances comparées et taux d’accroissement

Certaines croissances comparées sont à connaître par coeur.

Quel que soit n \in \mathbb{N*}.

On a : $$ \lim\limits_{x \rightarrow +\infty} \frac{x^n}{e^x} = 0$$

On a également : $$ \lim\limits_{x \rightarrow +\infty} \frac{e^x}{x^n} = +\infty$$

Enfin, on a aussi : $$ \lim\limits_{x \rightarrow  -\infty} e^x x^n = 0$$

Pour calculer des limites en zéro il faut se souvenir du taux d’accroissement.

$$ \lim\limits_{x \rightarrow 0} \frac{e^x-1}{x}= 1$$

 

Pour vous entraîner à l’épreuve de mathématiques, n’hésitez pas à consulter le corrigé du bac de maths S 2018 disponible ici  ou le sujet de 2019  qui est disponible avec son corrigé ici.