Ici, nous allons parler des fonctions de base et en particulier de la fonction exponentielle. Si vous avez choisi la spécialité mathématiques en Première, cet article est donc fait pour vous ! Il est nécessaire de bien la comprendre (définition, courbe, propriétés) pour pouvoir réussir vos exercices d’étude de fonction !
D’ailleurs, pour apprendre comment les réussir, n’oublie pas de consulter cette fiche ! Tu retrouveras aussi une fiche sur la fonction logarithme ici. Pour les fonctions sinus et cosinus, il faudra cliquer ici. Au programme aujourd’hui :
- la définition de l’exponentielle
- son domaine de dérivabilité, savoir intégrer et dériver la fonction exponentielle
- connaître ses limites
- la fonction puissance
Définition de la fonction exponentielle
L’exponentielle (ou fonction exponentielle) est définie comme l’unique fonction continue et dérivable sur 
On note cette fonction 
Regardons quoi ressemble cette fonction :
Propriétés de la fonction exponentielle
En regardant le graphe de la fonction exponentielle on peut remarquer quelques propriétés :
- Elle est définie sur
- La fonction est à valeurs positives,
- Elle est strictement croissante sur
- On a
Comment la dériver et l’intégrer
En regardant la définition de la fonction exponentielle, on note que la fonction est dérivable sur
Par conséquent
En regroupant cela avec les propriétés évoquées précédemment, on en déduit le tableau de variation suivant
On remarquera également que la fonction admet des primitives sur 
Comment l’utiliser
On peut manipuler la fonction exponentielle en appliquant les règles suivantes :
- Les multiplications d’exponentielles:
- Les divisions d’exponentielles :
- Les exponentielles à la puissance :
Ces propriétés sont très importantes à retenir car elles interviennent régulièrement dans les exercices. Pensez à les noter quelques part dans vos fiches pour ne pas les oublier !
Lien entre la fonction exponentielle et la fonction logarithme
La fonction exponentielle et la fonction logarithme sont des fonctions réciproques. C’est à dire qu’on a les égalités suivantes :
$$\forall x \in \mathbb{R}, ln(e^x)=x$$
$$\forall y >0, e^{(ln(y))}=y$$
On peut visualiser ces résultats en regardant les graphiques des 2 fonctions.
La fonction puissance
Considérons un réel 
La fonction puissance est la fonction qui associe à tout x la quantité 
Mais on peut exprimer cette quantité à l’aide de la fonction exponentielle:
Regardons les courbes obtenues pour différentes valeurs de a.
On peut distinguer 3 cas qu’on regroupe dans le tableau de variation suivant :
Croissances comparées et taux d’accroissement
Certaines croissances comparées sont à connaître par coeur.
Quel que soit 
On a : $$ \lim\limits_{x \rightarrow +\infty} \frac{x^n}{e^x} = 0$$
On a également : $$ \lim\limits_{x \rightarrow +\infty} \frac{e^x}{x^n} = +\infty$$
Enfin, on a aussi : $$ \lim\limits_{x \rightarrow -\infty} e^x x^n = 0$$
Pour calculer des limites en zéro il faut se souvenir du taux d’accroissement.
$$ \lim\limits_{x \rightarrow 0} \frac{e^x-1}{x}= 1$$
Pour vous entraîner à l’épreuve de mathématiques, n’hésitez pas à consulter le corrigé du bac de maths S 2018 disponible ici ou le sujet de 2019 qui est disponible avec son corrigé ici.
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