Les fonctions convexes et concaves

Depuis ta découverte des fonctions en maths, tu as étudié beaucoup de fonctions, de représentations graphiques et de sens de variation. Il y a d’autres éléments qui peuvent être importants pour étudier une fonction : sa convexité, c’est-à-dire savoir si une fonction est convexe ou concave. 

Convexe, concave, tu n’as jamais entendu ces mots ? Tu en as entendu parler mais tu n’arrives jamais à définir si une fonction est convexe ou concave ? Lis cet article pour en savoir plus ! Celui-ci est à destination des élèves en terminale qui suivent l’option de mathématiques complémentaires et de tous ceux qui veulent en savoir plus sur les fonctions convexes !

 

La dérivée d’une dérivée d’une fonction

Définition

Dans ce chapitre, on s’intéresse aux fonctions dérivables (la plupart des fonctions que tu connais le sont mais c’est toujours bien de se poser la question !) deux fois sur un intervalle, c’est-à-dire que la dérivée de la fonction est elle-aussi dérivable et donne une « fonction dérivée seconde ».

Ainsi, si une fonction f est dérivable sur un intervalle I et f' est à nouveau dérivable sur I, alors on dit que f admet pour « fonction dérivée seconde » sur I la fonction que l’on note f", telle que f"(x)=(f'(x))'

C’est cette fonction seconde qui va nous donner des indications sur la convexité de f !

 

Exemple

Soit f une fonction définie sur R par f(x)=(1/2)x^2-5x+10

f est dérivable sur R et f'(x)=(1/2)*2x-5 = x-5

f' est à nouveau dérivable sur R et f"(x)=1

 

Convexe ou concave, qu’est-ce que cela veut dire ?

Maintenant que tu connais le principe de dérivée seconde, il est temps de s’intéresser à la convexité des fonctions ! 

Définition

La définition mathématique de la convexité pour une fonction dérivable est : une fonction est convexe sur un intervalle si sa courbe est au-dessus de chacune de ses tangentes sur cet intervalle

A l’inverse, une fonction est concave sur un intervalle si sa courbe est en-dessous de chacune de ses tangentes sur cet intervalle.

En mots plus clairs, une fonction croissante est convexe si elle croît de plus en plus vite, comme si elle « accélérait ». Une fonction concave croît de moins en moins en vite, comme si elle « ralentissait ».

Graphiquement

convexe concave

Dans les fonctions que tu connais bien, certaines sont convexes sur R : la fonction carrée, la fonction exponentielle. D’autres sont concaves sur R : la fonction ln, la fonction racine carrée. D’autres encore sont un peu des deux : les fonctions cube et inverse sont concave lorsque x<0 et convexe lorsque x>0.

 

Comment définir la convexité d’une fonction ?

Lien entre les fonctions dérivées et la convexité

Pour savoir si une fonction est convexe ou concave sur un intervalle, on peut regarder le graphique pour avoir une première idée et on peut surtout utiliser les fonctions dérivées premières et secondes

Une fonction f est convexe sur I lorsque sa dérivée f' est croissante sur I, soit lorsque sa dérivée seconde f" est positive sur I.

Une fonction f est concave sur I lorsque sa dérivée f' est décroissante sur I, soit lorsque sa dérivée seconde f" est négative sur I.

Exemples

Reprenons notre premier exemple : f(x)=(1/2)x^2-5x+10. On sait que pour tout x de R, f''x=1>0 . Donc f est convexe sur R.

Prenons un autre exemple. Soit la fonction [latex]g[/latex] définie sur R par g(x)=x^3+8x-10

g est dérivable sur R et pour tout x réel, g'(x)=3x^2+8

g' est dérivable sur R et pour tout x réel, g''(x)=3*2x=6x

Etudions le signe de g" pour connaître le sens de variation de g' et en déduire la convexité de g.

g''x=6x  s’annule lorsque x=0

Pour tout x<0, g''(x)<0 et pour tout x>0, g"(x)>0.

Donc pour tout x<0, g' est décroissante et pour tout x>0, g' est croissante.

Donc g est concave sur ]-∞ ;0] et convexe sur [0 ; +∞ [.

Nous pouvons représenter nos résultats sous forme de tableau :

Signe de x -∞  0 + 
Signe de g’’ +
Sens de variation de g’
Convexité de g Concave Convexe

 

La notion de point d’inflexion

Définition

Certaines fonctions ont la même convexité sur tout leur intervalle de définition (pour tous les réels), comme la fonction f étudiée dans cet article, et d’autres changent de convexité une ou plusieurs fois, comme la fonction étudiée ci-dessus.

Lorsqu’une fonction change de convexité en un point A, on dit que A est un « point d’inflexion ». C’est un point où la fonction « traverse » sa tangente

La fonction g étudiée ci-dessus admet pour point d’inflexion le point d’abscisse 0 car g est concave avant et convexe après. 

Exemple

Prenons pour exemple la fonction cube : pour tout x réel, h(x)=x^3

h est dérivable sur R et pour tout x réel, h'(x)=2x^2

h' est dérivable sur R et pour tout x réel, h"(x)=4x

h" change de signe lorsque x=0, tel que pour tout x<0, h''(x)<0 et pour tout x>0, h''(x)>0.

Donc la fonction cube admet un point d’inflexion en 0. Le point de coordonnées (0, h(0)), soit le point O (0, 0) qui est l’origine du repère, est un point d’inflexion de la courbe de la fonction h.

La fonction h est concave sur ]-∞ ;0] et convexe sur [0 ; +∞ [.

Graphiquement, cela donne : 

inflexion

L’axe des abscisses est la tangente de la courbe h au point d’inflexion O, on voit bien que la courbe de la fonction (en rouge ici) « traverse » la tangente

 

Conclusion

En étudiant la fonction dérivée seconde d’une fonction, on peut déduire de nouvelles choses sur l’analyse des fonctions et aller plus loin que le simple sens de variation des fonctions. Les notions liées aux fonctions convexes et concaves et aux points d’inflexions recouvrent un peu de vocabulaire à acquérir mais sont finalement assez simples à comprendre avec un peu d’entraînement. Bon courage !