Le cercle trigonométrique et l’argument d’un nombre

Le cercle trigonométrique est une notion très importante à maîtriser dans le cadre du programme de la spécialité de première, et plus encore si tu souhaites poursuivre des études mathématiques par la suite. Il est impossible de réussir un exercice sur les complexes sans savoir l’utiliser parfaitement ! Pour réussir votre bac 2021 de mathématiques, Up2School a décidé de vous rédiger cet article pour revoir ensemble tout ce qu’il y a à savoir. Le cercle trigonométrique permet de déterminer l’argument d’un nombre complexe. Si jamais tu as des doutes sur la notion d’argument ou sur les nombres complexes en générale, n’hésite pas à relire notre article disponible ici.

 

Le cercle trigonométrique

La définition du cercle trigonométrique

Comme son nom l’indique, le cercle trigonométrique est un cercle. C’est un cercle de rayon 1, centré en 0, c’est-à-dire centré en l’origine du repère orthonormé. On trace souvent ce cercle dans le plan complexe, c’est-à-dire que l’axe des ordonnées correspond à la partie imaginaire.

On parle de cercle trigonométrique car on vient placer des angles sur le cercle ! Ainsi, il permet d’illustrer la notion d’angles de radian et de définir les fonctions trigonométriques (cosinus, sinus et tangente) que vous étudierez par la suite de ce chapitre.

On obtient donc un cercle comme celui-là

 

"Le

Attention, n’oubliez pas que le cercle est orienté dans le sens inverse des aiguilles d’une montre. On l’appelle alors le sens direct ou sens trigonométrique.

L’enroulement de la droite numérique

Une droite numérique ? Il s’agit d’une droite de nombres qui dispose d’une graduation constante. Dans le cadre de cet article, on s’intéresse à une droite numérique perpendiculaire à l’axe des abscisses telle que son origine coïncide avec le point $\latex(0,1)$ du cercle trigonométrique.

On enroule donc cette demi-droite des réels positifs sur le cercle dans le sens direct et la demi-droite négative dans le sens indirect. On appelle alors point image, l’unique point M du cercle associé au nombre réel x de la droite numérique.

Le radian

Si on considère le cercle ci-dessus, le radian, noté rad, se définit comme la mesure d’un angle au centre dont l’arc est de longueur 1. Par conséquent, on obtient $\latex 360° = 2\pi$, ou encore $\latex 180° = \pi$

On notera que les angles en radian et en degré sont proportionnels.

 

 

La construction du cercle trigonométrique

Un premier rappel pour construire le cercle trigonométrique

Il est primordial de savoir tracer rapidement un cercle trigonométrique sur un brouillon.Pour le construire, il faut comprendre le lien entre ce cercle et le sinus / le cosinus d’un angle.

Considérons un point M sur le cercle, on forme ainsi un angle que l’on nomme \alpha avec l’axe des abscisses. Maintenant, en revenant à la définition du cosinus et du sinus, on remarque qu’on retrouve ces valeurs sur le schéma suivant :

lecture sin et cos

En effet, si tu ne t’en rappelles pas, le cosinus et le sinus sont définis de la manière suivante. Au collège, tu as vu que dans un triangle rectangle :

$$cos(\alpha) = \frac{adjacent}{hypothénuse}$$

$$sin(\alpha) = \frac{opposé}{hypothénuse}$$

C’est donc tout naturellement que tu retrouves ces valeurs sur le cercle trigonométrique ci-dessus ! Mais à quoi bon tout cela peut-il servir ?

 

Les angles du cercle trigonométrique

On remarque sur cette figure du cercle trigonométrique que l’on peut :

  • lire le cosinus sur l’axe des abscisses
  • lire le sinus sur l’axe des ordonnées

C’est grâce à cela que l’on va construire le cercle trigonométrique. On commence par placer les angles très simples 0,\frac{\pi}{2}, \pi, \frac{3\pi}{2}.

Par conséquent, on obtient la figure suivante :

debut cercle trigonométrique

On peut ensuite facilement placer les angles multiple de pi sur quatre. En effet, il suffit de tracer les bissectrices des sections actuelles. Sur une feuille à carreaux, il suffit de prendre la diagonale du carreau. On obtient :

Construction cercle trigonométrique

Les angles à connaître pour finir le cercle

Pour finir de tracer le cercle trigonométrique, on complète en utilisant les valeurs connue de sinus et cosinus qu’on vous rappelle ici :

$$\begin{array}{|l|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline \boldsymbol{x} \text { (en rad) } & 0 & \frac{\pi}{6} & \frac{\pi}{4} & \frac{\pi}{3} & \frac{\pi}{2} & \frac{2 \pi}{3} & \frac{3 \pi}{4} & \frac{5 \pi}{6} & \pi \\
\hline \sin x & 0 & \frac{1}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} & 1 & \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{1}{2} & 0 \\
\hline \cos x & 1 & \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{1}{2} & 0 & -\frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{2}}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} & -1 \\
\hline
\end{array}$$

Rappelons également que $\latex -1 \le cos(x) \le 1$ et $\latex -1 \le sin(x) \le 1$

On remarque que pour ces angles, il y a toujours une valeur, soit le cosinus soit le sinus qui est facile à placer sur l’axe correspond. Par exemple, pour \frac{\pi}{6} le sinus vaut un demi. On peut donc placer ce point puis tracer la droite parallèle à l’axe des abscisses passant par ce point, l’intersection de cette droite avec le cercle permet de placer le point. Voici ce que cela donne :

Placer un point sur le cercle trigonométrique

En faisant cela pour toutes les valeurs, on obtient le cercle complet !

 

Quel lien entre le cercle trigonométrique et les nombres complexes ?

On a donc construit un cercle trigonométrique, mais à quoi cela sert-il ? Il sert principalement pour trouver l’argument d’un nombre complexe.

Pour rappel l’argument d’un complexe c’est l’angle qu’il forme avec l’axe des abscisses, qui est représenté par theta sur la figure suivante :

 

L'argument d'un complexe

Considérons le nombre complexe, écrit sous forme algébrique z=2+2i.

On souhaite le mettre sous forme trigonométrique ou exponentielle. Il faut alors en déterminer le module puis l’argument.

On a |z|=\sqrt{2^2+2^2}= \sqrt{8} = 2 \sqrt{2}

Pour trouver l’argument on peut utiliser plusieurs techniques :

  • soit on factorise par le module. Ce qui donne z= 2\sqrt{2}(\frac{1}{\sqrt{2}}+ i \frac{1}{\sqrt{2}}). On cherche alors un angle tel que \cos(\theta) = \frac{\sqrt{2}}{2} et \sin(\theta) = \frac{\sqrt{2}}{2}. Le tableau ou le cercle nous permettent de trouver \theta= \frac{\pi}{4}.
  • on peut aussi utiliser la formule avec l’arctangente. $$\theta = arctan(\frac{2}{2})= \arctan(1) = \frac{\pi}{4}$$
  • ou alors on applique la méthode suivante : on trace le cercle trigonométrique, on place le point et on lit l’angle (cette méthode permet de trouver graphiquement l’angle mais ne justifie pas la réponse ! )

L'argument d'un complexe

On obtient donc l’écriture trigonométrique suivante :  $$ z=2 \sqrt{2}(\cos(\frac{\pi}{4})+ i \sin(\frac{\pi}{4}))$$

Et l’écriture exponentielle :

$$z=2 \sqrt{2} e^{i \frac{\pi}{4}}$$

 

Conclusion sur le cercle trigonométrique

Sur cette notion, il sera important de savoir associer un nombre réel à un unique point du cercle, de définir le cosinus et le sinus de tous les nombres réels. Il faut également retenir que le radian permet de mesurer les angles, au même titre que le degré et qu’elles sont proportionnelles l’une à l’autre. N’oubliez pas non plus de retenir les valeurs remarquables, à connaître par coeur, sur le cercle trigonométrique et de savoir le construire à nouveau.

Voilà qui conclut cette fiche sur le cercle trigonométrique. N’hésite pas à t’entraîner sur nos annales de bac ! Le sujet du bac 2019 et sa correction détaillée sont disponibles ici.