Tout savoir sur les matrices (option mathématiques expertes)

C’est l’une des grandes notions de l’option de mathématiques expertes en terminale : les matrices. Et j’ai un scoop pour toi, tu n’es pas prêts d’arrêter d’en entendre parler si tu veux continuer tes études dans une voie scientifique après le bac. C’est l’un des sujets préférés des programmes de maths en classes préparatoires, toute filière confondue !

Donc si tu veux cartonner au nouveau bac et être prêt pour l’année prochaine, je te conseille de lire attentivement cet article. On va ici présenter les bases et les définitions que tu dois maîtriser par cœur et sans la moindre hésitation ! Un second article suivra pour aborder les notions un peu plus avancées. N’hésite pas à faire/refaire les exemples dans ton coin avec un papier et un crayon. Il n’y a pas de secret, c’est en faisant qu’on apprend. Les matrices ne sont pas en soi compliquées à comprendre, mais il faut tout de même s’habituer à la logique !

 

La notion de matrice

Qu’est-ce qu’une matrice ?

Et bien ce n’est rien de bien sorcier, c’est juste une manière de représenter des données. Une matrice, ce n’est ni plus ni moins qu’un tableau qui contient des données.

Si m et n sont deux entiers, alors une matrice m \times n est un tableau avec m lignes et n colonnes.

Le plus souvent, les matrices sont notées avec des parenthèses. Voici un exemple de matrice 2 x 3.

$$\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3\\
4 & 5 & 6
\end{pmatrix}$$

Par convention le premier nombre, ici 2, correspond toujours au nombre de lignes de la matrice et le deuxième nombre, ici 3, correspond au nombre de colonnes.

Le terme qui se trouve sur la ligne i et la colonne j d’une matrice A est noté a_{i,j}.

Si m=n, on dit que la matrice est carrée.

Voici un exemple de matrice carrée 2 2.

$$\begin{pmatrix}
1 & 2\\
4 & 6
\end{pmatrix}$$

 

La matrice identité

La matrice identité est une matrice un peu particulière et très utile. C’est une matrice carrée dans laquelle tous les coefficients sont nuls, sauf ceux de la diagonale qui sont égaux à 1.

On la note \mathbb{I}_n avec n, le nombre de lignes.

Par exemple voici \mathbb{I}_2

$$I_2 = \begin{pmatrix}
1 & 0\\
0 & 1
\end{pmatrix}$$

 

Quelques matrices particulières

Une matrice dont tous les coefficients sont nuls est appelée une matrice nulle.

Une matrice avec une seule ligne est une matrice ligne, exemple :

$$A = \begin{pmatrix}
1 & 0 & -3
\end{pmatrix}$$

 

Une matrice avec une seule colonne est appelée une matrice colonne, exemple :

$$B=\begin{pmatrix}
1 \\
4
\end{pmatrix}$$

 

Pour que deux matrices soient égales, il faut absolument qu’elles aient la même dimension !!

$$A = \begin{pmatrix}
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}$$

$$B=\begin{pmatrix}
0 \\
0
\end{pmatrix}$$

A et B sont deux matrices nulles mais elles ne sont pas égales car elles n’ont pas la même dimensions.

 

Additionner 2 matrices

Attention, on ne peut additionner que des matrices de même dimension !!

Si A et B sont deux matrices m,n alors on peut définir la matrice C = A+B.

C aura alors pour dimension m \times n.

Et c_{i,j}= a_{i,j} + b_{i,j}

Exemple

$$A = \begin{pmatrix}
1 & 2 & 4\\
4 & 6 & 0
\end{pmatrix}$$

$$B = \begin{pmatrix}
0 & 1 & -1\\
3 & 5 & 0
\end{pmatrix}$$

 

Alors

$$C = \begin{pmatrix}
1 & 3 & 3\\
7 & 11 & 0
\end{pmatrix}$$

 

On peut également multiplier tous les éléments d’une matrice par un coefficient \alpha.

Par exemple si

$$A = \begin{pmatrix}
1 & 2\\
0 & 3
\end{pmatrix}$$

Alors on peut calculer 3A

$$A = \begin{pmatrix}
3 & 6\\
0 & 9
\end{pmatrix}$$

Le coefficient peut ne pas être entier par exemple -1,5A

$$A = \begin{pmatrix}
-1,5 & -3\\
0 & -4,5
\end{pmatrix}$$

 

À toi de jouer !

Question : Quelle est la taille de cette matrice, 4,2 ou 2,4

$$A = \begin{pmatrix}
1 & 4 & 2 & 3\\
7 & 11 & 0 & 5
\end{pmatrix}$$

C’est bien sur 2,4. Le premier chiffre est celui qui indique le nombre de lignes.

 

Question : Que vaut l’addition de la matrice A avec \mathbb{I}_2 ?

$$A = \begin{pmatrix}
1 & 2 \\
4 & 3
\end{pmatrix}$$

Réponse

$$\begin{pmatrix}
2 & 2 \\
4 & 4
\end{pmatrix}$$

 

Question : la matrice identité est-elle forcément carrée ?

Réponse : Oui ! Sinon il serait difficile de définir la diagonale de la matrice.

 

Voilà qui conclut ce petit rappel sur les matrices. Pour t’entraîner efficacement en vue de l’épreuve de mathématiques, n’hésite pas à consulter le corrigé du bac de maths S 2018 disponible ici . Le sujet de 2019 est également disponible avec son corrigé ici.

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Etudiante en double diplôme, j'ai fais une prépa MPSI/PSI* avant d'intégrer l'ENSTA Paris. J'ai ensuite rejoint HEC.