Notre méthode pour réussir tous les exercices de géométrie dans l’espace

Il est  très important de connaître la méthode de géométrie dans l’espace. Quasiment chaque année le bac comprend un exercice qui nécessite de l’appliquer. Il est donc plus que nécessaire de maîtriser ce chapitre. C’est un chapitre boite à outils, c’est à dire qu’il comprend plusieurs méthodes et qu’il faut savoir en fonction de la question qui vous est posée quel outil utiliser. Pour vous aider dans cet apprentissage, major-bac vous a rédigé 2 articles, un premier qui reprend toutes les notions de base, les définitions d’un plan, de produit scalaire, les équations paramétriques et tout le vocabulaire utile. Cet article est disponible ici. Assurez vous de bien maîtriser tout ce qui est dit dans cet article avant de passer à la lecture de cet article.

Dans cet article nous allons reprendre pas à pas les différentes questions liées à la géométrie dans l’espace et voir comment les traiter. Toutes les questions sont issues des sujets de bac de ces dernières années pour que vous puissiez vous familiariser avec la formulation des énoncés.

N’hésitez pas à lire la question puis à essayer de répondre par vous même avant de lire notre proposition ! Enfin refaites les exercices quelques jours après avoir lu l’article pour vérifier que vous avez bien compris.

Avant de traiter un exercice de géométrie dans l’espace

Avant de commencer un exercice prenez le temps de bien lire l’énoncé et de surligner les informations utiles comme les coordonnées des points ou les équations qu’on vous donne.

Deuxième étape primordiale, essayez tant que possible de faire un schéma au brouillon. C’est particulièrement utile quand l’exercice vous demande d’émettre des hypothèses. En effet, ainsi vous pouvez voir le résultat. Quand vous révisez chez vous n’hésitez pas à utiliser géogebra disponible ici pour tracer vos figures simplement !

Montrer que 3 points sont alignés (bac 2016)

Méthode de géométrie dans l’espace : pour montrer que 3 points sont alignés, il suffit de calculer deux vecteurs passant par ces points par exemple \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{AC} et de montrer qu’ils sont colinéaires. Pour montrer que 3 points ne sont pas alignés, il suffit de calculer deux vecteurs et de montrer qu’ils sont non colinéaires.

Enoncé  de géométrie dans l’espace : Les 3 points A, B, C sont ils alignés ?

$$A(1,2,3), B(3,0,1), C(-1,0,1)$$

Solution :

Commençons par regarder un schéma :

Géométrie dans l'espace

Il semble assez évident que les 3 points ne sont pas alignés.

on calcule les vecteurs \overrightarrow{AB} et $latex \overrightarrow{AC}.

On a \overrightarrow{AB}=(2;-2;-2).
On a \overrightarrow{AC}=(-2;-2;-2).
Parce que les 2 vecteurs ne sont pas colinéaires. En effet, les 2ème et 3ème composantes sont identiques, or la première ne l’est pas. Il est impossible de trouver un réel \lambda tel que \overrightarrow{AB}=\lambda \overrightarrow{AC}. Les 3 points ne peuvent donc pas être alignés.

Montrer qu’un point appartient à une droite ou un plan (bac 2017)

Méthode de géométrie dans l’espace : un point appartient à une droite ou un plan, s’il vérifie l’équation de la droite ou du plan. Si l’on dispose d’une équation cartésienne on l’injecte directement dans l’équation et on vérifie que l’égalité est toujours vraie. Si l’on dispose d’une représentation paramètre on obtient un système d’équation et on le résout pour regarder si une valeur de t vérifie ce système. S’il existe une valeur de t alors le point appartient à l’objet, sinon il ne lui appartient pas.

Enoncé (équation cartésienne) de géométrie dans l’espace : Soit P le plan d’équation cartésienne : 2x-z-3= 0
On note A le point de coordonnées (1 ; a ; a^2), où a est un nombre réel.

Justifier que, quelle que soit la valeur du réel a, le point A n’appartient pas au plan P.

Solution :  Le point A n’appartiendra au plan que s’il vérifie l’équation du plan. Cette équation est 2x-z-3= 0.
Le point A a pour coordonnées (1 ; a ; a^2).
Si on l’injecte dans l’équation on obtient 2 \times 1 - a^2 - 3 = -(a+1)^2. Or \forall a \in \mathbb{R}, (a^2+1)\geq 1.
Donc il n’existe aucune valeur de a telle que les coordonnées vérifient l’équation du plan.

Montrer que 2 droites sont sécantes (bac 2016)

Méthode de géométrie dans l’espace :  il existe plusieurs façon de faire :

  •  trouver une représentation paramétrique pour chacune des droites puis regarder s’il existe une solution au système d’équations (fournit les coordonnées du point d’intersection
  • si elles sont dans le même plan il suffit de montrer qu’elles ne sont pas parallèles, c’est à dire que leurs vecteurs directeurs ne sont pas parallèles.

Enoncé de géométrie dans l’espace : les droites (AB) et (CD) sont elles sécantes ?

$$A(1,2,3), B(3,0,1), C(-1,0,1), D(2,1,-1)$$

Solution :

Commençons par regarder ce que cela donne graphiquement :

Montrer que 2 droites ne sont pas sécantes

Il semble que les 2 droites ne sont pas sécantes.

La droite (AB) passe par le point A, \left(\begin{array}{l}{1} \\ {2} \\ {3}\end{array}\right), et a pour vecteur directeur
\left(\begin{array}{c}{2} \\ {-2} \\ {-2}\end{array}\right)
La représentation paramétrique est donc :
$$ \begin{array}{l}{x=1+2 t} \\ {y=2-2 t \quad(t \in \mathbb{R})} \\ {z=3-2 t}\end{array} $$
La droite (CD) passe par le point C, \left(\begin{array}{c}{-1} \\ {0} \\ {1}\end{array}\right), et a pour vecteur directeur
\left(\begin{array}{c}{3} \\ {1} \\ {-2}\end{array}\right).
La représentation paramétrique est donc :
$$ \begin{array}{l}{x=-1+3 t} \\ {y=t \quad(t \in \mathbb{R})} \\ {z=1-2 t}\end{array} $$
Si les deux droites sont sécantes, alors il existe un point qui appartient aux deux droites, et qui par conséquent vérifie les 2 systèmes d’équations.
$$ \begin{array}{l}{1+2t=-1+3t^{\prime}} \\{2-2 t=t^{\prime}} \\ {3-2 t=t^{\prime}}\end{array}$$
Ce qui équivaut à
$$\left\{\begin{array}{l}{2 t-3 t^{\prime}=-2} \\ {2 t+t^{\prime}=2} \\ {2 t+t^{\prime}=3}\end{array}\right.$$
Il est évident en regardant les lignes 2 et 3 que ce système n’a pas de solution. Les 2 droites ne sont donc pas sécantes.

Trouver un vecteur normal à un plan dont on connait l’équation cartésienne

Méthode de géométrie dans l’espace : rien de plus simple ! Si un plan admet pour équation ax+by+cz+d=0, alors le vecteur \vec{n}=(a,b,c) est un vecteur normal à plan !
Enoncé de géométrie dans l’espace : donner un vecteur normal au plan P d’équation $3x-4y+2z+6=0$.
Solution : le vecteur \vec{n}=(a,b,c)

Montrer qu’un vecteur est normal à un plan

Méthode de géométrie dans l’espace : pour montrer qu’un vecteur est orthogonal à un plan, on montre que ce vecteur est orthogonal à 2 vecteurs non colinéaires du plan.

Enoncé de géométrie dans l’espace : On considère le vecteur \vec{n}=(0;1;-1) et les points A, B, C suivants :

$$A(1,2,3), B(3,0,1), C(-1,0,1), D(2,1,-1)$$

Solution :

Graphiquement cela nous donne

Géométrie dans l'espace

Calculons \vec{n} . \overrightarrow{A B}=0-2+2=0.
Puis \vec{n} . \overrightarrow{A C}=0-2+2=0.
D’après la première question de cet article, les vecteurs \overrightarrow{A C} et \overrightarrow{AB} sont non colinéaires.
Le vecteur  \vec{n} est donc orthogonal à 2 vecteurs non colinéaires du plan, par conséquent on en déduit que  \vec{n} est orthogonal au plan (ABC).

Déterminer l’équation paramétrique d’une droite passant par un point orthogonal à un plan (bac 2017)

Méthode de géométrie dans l’espace: on commence par déterminer un vecteur normal au plan que l’on nomme \vec{n}. La droite est donc colinéaire à ce vecteur. De plus, on connait les coordonnées des points par lesquels elle doit passer. Elle est donc composée des points M qui vérifient \overrightarrow{O M}=\overrightarrow{O A}+t \vec{n}. Il ne reste plus qu’à projeter sur les axes pour obtenir l’équation paramétrique.

Enoncé  de géométrie dans l’espace: Soit P le plan d’équation cartésienne : 2x-z-3= 0
On note A le point de coordonnées (1 ; a ; a^2), où a est un nombre réel.

Déterminer une représentation paramétrique de la droite D (de paramètre noté t) passant par le point A et orthogonale au plan P.

Solution : La droite D passe par le point A et est orthogonale à P. On rappelle qu’une droite est orthogonale a un plan P d’équation ax+by+cz+d = 0, si son vecteur directeur est colinéaire à \vec{n} = (a, b, c).

La droite D est donc colinéaire au vecteur (2, 0,−1). De plus, elle doit passer par le point A. Elle doit
donc vérifier que \overrightarrow{O M}=\overrightarrow{O A}+t \vec{n}. On projette sur chacun des axes et on obtient :

$$\left\{\begin{array}{l}
x=1+2 t \\
y=a \\
z=a^{2}-t
\end{array}\right.$$
Ce système est donc l’équation paramétrique de notre droite.

Calculer l’intersection d’un plan et d’une droite (bac 2017)

Méthode de géométrie dans l’espace : vous l’aurez compris, si un point est l’intersection d’un plan et d’une droite, alors il appartient au plan et à la droite. Il doit donc vérifier les équations des 2 objets. Cette égalité nous fournit un système d’équation, quand on le résout on trouve donc les coordonnées du point d’intersection. Si ce système n’admet pas de solution alors cela veut dire qu’il n’y a pas de point d’intersection. S’il y a une infinité de solutions, alors la droite est contenue dans le plan.

On rappelle que : une droite est sécante avec un plan sauf si un vecteur directeur de la droite est orthogonal à un vecteur orthogonal du plan.

Enoncé  de géométrie dans l’espace: Considérons les points :

$$A(1,2,3), B(3,0,1), C(-1,0,1), D(2,1,-1), E(-1,-2,3) \text { et } F(-2,-3,4)$$
La droite (EF) et le plan (ABC) sont sécants et leur point d’intersection est le milieu du segment [BC ].
Solution : Regardons d’abord graphiquement
Géométrie dans l'espace
Il semble bien y avoir un point d’intersection !
Commençons par montrer que la droite et le plan sont sécants.
On a \overrightarrow{EF}=(-1,-1,1).\\
Puis \vec{n} . \overrightarrow{E F}=-2.\\
Les 2 vecteurs ne sont pas orthogonaux. Donc la droite et le plan sont bien sécants. Si on ne demande pas les coordonnées du point d’intersection alors on peut s’arrêter là ! Ici l’énoncé donne une indication sur les coordonnées du point d’intersection on adapte donc un peu la méthode !
I est le milieu de [BC], I appartient donc de façon évidente au plan (ABC).
Calculons les coordonnées du point I.
$$ \left(\dfrac{x_{B}+x_{C}}{2} ; \dfrac{y_{B}+y_{C}}{2} ; \dfrac{z_{B}+z_{C}}{2}\right)=(1,0,1) $$
Enfin  \overrightarrow{EI} = (2; 2; −2).
Il est clair que  \overrightarrow{EF} et \overrightarrow{EI} sont colinéaires.
Donc I \in (EF) et par conséquent les points E, I et F sont alignés.
On a donc prouvé que la droite (EF) et le plan (ABC) sont sécants. Leur intersection est le milieu du segment [BC].
N’hésitez pas à relire cette fiche plusieurs fois et à consulter d’autres fiches récapitulatives en mathématiques sur notre site. Bon courage !
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Etudiante en double diplôme, j'ai fais une prépa MPSI/PSI* avant d'intégrer l'ENSTA Paris. J'ai ensuite rejoint HEC.