Kit de survie sur les nombres complexes

La quasi totalité des sujets de bac comprend un exercice sur les nombres complexes. Les nombres complexes sont une notion centrale du programme de terminale S. Cette notion peut être un peu dérangeante au premier abord. Un nombre avec une partie réelle et une partie imaginaire, quelle drôle d’idée.

Cette fiche n’a pas pour but de se substituer à un cours, mais uniquement d’essayer de vous expliquer de façon simple, ce que sont les nombres complexes et comment les manipuler. Vous n’y trouverez que les notions élémentaires, une fiche avec des concepts plus détaillés devrait être publiée prochainement.


Compétences que doit maîtriser le candidat :

  • connaitre les 3 formes d’écritures d’un nombre complexe
  • savoir calculer un module et un argument
  • savoir résoudre une équation du second degré dans \mathbb{C}
  • savoir placer un point d’affixe donnée
  • connaitre la formule d’Euler et de Moivre

 

Pourquoi des nombres complexes ?

En voilà une bonne question, principalement parce que sans les complexes une partie des équations de degré deux n’admet pas de solution. Ce sont toutes les équations de degré 2 dont le delta est strictement négatif. Dans l’ensemble des nombres complexes noté \mathbb{C}, toutes les équations de degré 2 à coefficients réels admettent une ou deux solutions appelées racines.

 

Mais finalement qu’est ce qu’un nombre complexe?

Un nombre complexe est un nombre qui possède une partie réelle et une partie imaginaire.C’est donc l’ensemble des nombres qui peuvent s’écrire sous la forme z=a +ib avec a,b \in \mathbb{R}.

i vérifie l’intéressante propriété i^2 = -1.

Pour visualiser, on peut comparer à \mathbb{C} à \mathbb{R^2}, on parle d’ailleurs de plan complexe. Si on visualise \mathbb{C} comme un plan, la partie réelle correspond à l’abscisse et la partie imaginaire à l’ordonnée. Ainsi si on veut placer le point z_B d’affixe z_B = 3 + 2i, cela revient à placer le point (3,2) dans un repère classique.

Placement du point B

Petit point de vocabulaire si z = a+ib:

  • si b = 0, alors z est un réel, si et seulement si $z=\overline{z}$
  • si a = 0, alors z est un imaginaire pur, $z = – \overline{z}$ 
  • a est la partie réelle de z et est noté Re(z)
  • b est la partie imaginaire de z et est noté Im(z)
  • l’écriture z = a+ib est appelée forme algébrique.
  • le conjugué de z est le nombre \overline{z} = a - ib.

Petit point calcul : soit z=x+iy et z'=x'+iy':

  • z+z' = x + x' + i (y+y')
  • z \times z'= (x+iy)(x'+iy')=xx'-yy'+i(xy'+x'y)
  • \overline{z + z'}= \overline{z} + \overline{z'}
  • \overline{z \times z'} = \overline{z} \times \overline{z'}
  • si z' \neq 0, \overline{\frac{z}{z'}} = \frac{\overline{z}}{\overline{z'}}
  • Re(z) = \frac{z+\overline{z}}{2}
  • Im(z)= \frac{z - \overline{z}}{2}

On déduira des 2 dernières égalités que :

  • z est un réel si et seulement si z=\overline{z}
  • z est un imaginaire pur si et seulement si z = - \overline{z} .

 

La forme exponentielle et forme trigonométrique

La forme algébrique que nous venons de voir est pratique pour placer des points à partie réelle et imaginaire entière. Néanmoins, elle peut très vite devenir lourde à manipuler. C’est pourquoi on lui préfère souvent la forme exponentielle. Reprenons notre point B d’affixe z = 3 +2i.

Nous allons définir son module et son argument :

le module correspond à la distance entre l’origine et le point. On a donc \rho = |z|= \sqrt{a^2 + b^2}

l’argument correspond à l’angle entre l’axe des abscisses et le vecteur \overrightarrow{OZ}. On a donc \theta = arctan(\frac{Im(z)}{Re(z)})

Définition du module et de l’argument

On en déduit les formules suivantes :

  • |z| = 0 si et seulement si z=0
  • |z+z'| \leq |z| + |z'|, c’est l’inégalité triangulaire (facile à retrouver sur un schéma)
  • |zz'| = |z| \times |z'|
  • si z \neq 0, | \frac{z}{z'}| = \frac{|z|}{|z'|}
  • \cos (\theta) = \frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}}
  • \sin (\theta) = \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}

On obtient donc 2 nouvelles écritures de z:

  • la forme trigonométrique z = \rho (\cos(\theta)+ i \sin(\theta))
  • la forme exponentielle z=\rho e^{i\theta}

 

Passer d’une forme de nombre complexe à l’autre

Pour passer d’une forme trigonométrique ou exponentielle à une forme algébrique, le plus simple est de le faire graphiquement. On place le point. Pour cela on commence par tracer un cercle de centre O et de rayon \rho puis on place le point avec le sinus et le cosinus. On lit ensuite a et b sur l’axe des abscisses et des ordonnées. On obtient ainsi l’écriture algébrique du nombre.

On a les règles de calcul suivantes:

  • arg(zz') = arg(z) + arg(z') [2 \pi]
  • arg(\frac{z}{z'}) = arg(z) - arg(z') [2 \pi]
  • e^{i\theta} e^{i\theta '}= e^{i(\theta + \theta')}
  • \frac{e^{i \theta}}{e^{i \theta '}}= e^{i (\theta - \theta')}

 

La formule de Moivre

Elle permet d’exprimer pour tout angle \theta, \cos (n \theta), ou \sin (n \theta) en fonction de puissance de \cos(\theta) et \sin(\theta).

$$ (\cos (\theta) + i \sin (\theta))^n = \cos (n \theta) + i \sin (n \theta)$$

Ce qu’on peut récrire sous forme exponentielle

$$(e^{i \theta})^n = e^{i n \theta}$$

 

La formule d’Euler

Cette formule permet de lier \cos(\theta) ou \sin(\theta) à e^{i \theta}.

$$\cos(\theta) = \frac{e^{i \theta} + e^{-i \theta}}{2}$$

$$\sin(\theta) = \frac{e^{i \theta} – e^{-i \theta}}{2}$$

 

Les équations du second degré

Considérons l’équation az^2 + bz + c = 0, avec a,b,c \in \mathbb{R}, et z \in \mathbb{C}.On cherche pour quelles valeurs de z, cette équation est vérifiée.
Commençons par calculer son \Delta, \Delta = b^2 - 4ac.

Les solutions dépendent du signe de \Delta.

  • si \Delta > 0, l’équation admet 2 racines réelles $$ z_1 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}$$$$ z_2 = \frac{-b – \sqrt{\Delta}}{2a}$$
  • si \Delta = 0 , l’équation admet 1 racine réelle double $$ z = \frac{-b}{2a}$$
  • si \Delta < 0, l’équation admet 2 racines non réelles, complexes conjuguées$$ z_1 = \frac{-b + i \sqrt{-\Delta}}{2a}$$$$ z_2 = \frac{-b – i \sqrt{-\Delta}}{2a}$$

 

Apprenez bien ces formules par coeur ! Entraînez vous avec des exercices et n’hésitez pas à consulter nos autres fiches d’aide pour le BAC.

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Vous pouvez aussi vous entraîner sur des sujets d’annale le sujet/corrigé du bac de maths S 2018 disponible ici . Le sujet de 2019 est disponible avec son corrigé ici.

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Etudiante en double diplôme, j'ai fais une prépa MPSI/PSI* avant d'intégrer l'ENSTA Paris. J'ai ensuite rejoint HEC.