Tout savoir sur le produit matriciel (spécialité mathématiques expertes)

Les matrices ont déjà été abordées dans notre article qui leur sont consacré (il reprend notamment tous les concepts et définitions de base sur les matrices. N’hésite pas à le lire ou le relire avant de t’attaquer à cet article. Nous allons voir ici une opération primordiale : le produit matriciel.

Maîtriser cette notion te sera d’une grande aide pour le bac et pour la suite de tes études si tu continues les maths.

N’hésite pas à faire/refaire les exemples dans ton coin avec un papier et un crayon. Il n’y a pas de secret, c’est en faisant qu’on apprend.

 

La notion de produit matriciel – La méthode

Dans l’article précédent, nous avons vu comment additionner deux matrices et comment multiplier une matrice par un coefficient constant. Nous allons maintenant voir comment multiplier deux matrices ensembles.

 

Le produit matriciel : les dimensions

On pourrait penser que comme pour l’addition, on prend deux matrices de mêmes dimensions et on multiplie les coefficients termes à termes. Attention tout ceci est complètement faux !!!!

Premièrement, au niveau des dimensions, les deux matrices doivent être compatibles. Si on veut multiplier deux matrices A et B, alors il faut que le nombre de colonnes de A soit égal au nombre de lignes de B.

Si A est de taille m,n et B de taille n,k, alors la matrice C = A \times B sera de taille m,k

 

Le produit matriciel : le calcul

Pour le calcul lui même, il est un peu plus compliqué que les additions. La case i,j de la matrice C est donnée par c_{i,j}=\sum_{k=1}^n a_{i,k}b_{k,j}.

La formule peut paraître un peu compliquée mais pas de panique. Pour visualiser on écrit souvent un produit matriciel comme ceci

Prenons un exemple pour illustrer cette formule

$$A= \begin{pmatrix}
1 & 2 \\
3 & 4
\end{pmatrix}$$

 

$$B= \begin{pmatrix}
0 & 5 \\
-1 & 3
\end{pmatrix}$$

 

Calculons les coefficients de la matrice C = A \times B

$$c_{1,1} = a_{1,1}b_{1,1} + a_{1,2}b_{2,1} = 1 \times 0 + 2 \times (-1) = -2$$

$$c_{1,2} = a_{1,1}b_{1,2} + a_{1,2}b_{2,2} = 1 \times 5 + 2 \times 3 = 11$$

$$c_{2,1} = a_{2,1}b_{1,1} + a_{2,2}b_{2,1} = 3 \times 0 + 4 \times (-1) = -4$$

$$c_{2,2} = a_{2,1}b_{1,2} + a_{2,2}b_{2,2} = 3 \times 5 + 4 \times 3 = 27$$

 

On obtient donc la matrice C suivante

$$C= \begin{pmatrix}
-2 & 11 \\
-4& 27
\end{pmatrix}$$

Produit matriciel

Illustration du produit matriciel

 

La notion de produit matriciel – Les points d’attention

La non commutativité du produit matriciel

On vient de dire que pour que la multiplication de deux matrices soit possible, elles doivent être compatibles.

Si A est de taille m,n et B de taille n,k, alors la matrice C = A \times B sera de taille m,k. Cela signifie qu’il est possible que le produit AB soit possible sans que le produit BA ne le soit.

De plus, même si les 2 produits sont possibles, alors très souvent AB \neq BA.

Reprenons les matrices de l’exemple précédent calculons C= A \times B et D = BA (essaye de calculer D par toi-même, c’est un très bon exercice).

On trouve

$$C= \begin{pmatrix}
-2 & 11 \\
-4& 27
\end{pmatrix}$$

$$D= \begin{pmatrix}
15 & 20 \\
8 & 10
\end{pmatrix}$$

Les deux matrices ne sont pas égales ! Attention donc à bien écrire les matrices dans le bon ordre.

 

Un cas particulier de produit matriciel

Un cas un peu particulier est celui du produit d’une matrice ligne par une matrice colonne. Dans ce cas, le résultat est un réel. Cela peut sembler un peu étrange mais c’est normal. Le calcul se fait exactement comme le produit de deux matrices. Prenons un exemple :

$$A= \begin{pmatrix}
-1 &  4 & 2 \\
\end{pmatrix}$$

$$B= \begin{pmatrix}
1 \\
8 \\ 2
\end{pmatrix}$$

Alors C=c_{1,1}= -1 \times 1 + 4 \times 8 + 2 \times 2 = -1 + 32 + 4 = 35

 

L’élément neutre

Toute opération a un élément neutre. C’est à dire que quand on prend un objet et qu’on applique l’opération avec l’élément neutre, on ne modifie pas l’objet de départ. Pour l’addition et la soustraction, l’élément neutre est zéro. Prendre un nombre et lui ajouter ou soustraire zéro ne modifie pas ce nombre. Pour la multiplication et la division c’est 1. Et bien le produit matriciel a lui aussi un élément neutre, la matrice identité. Si la matrice A est de taille m,n alors multiplier A par \mathbb{I}_n ne modifie pas la matrice A.

Exemple

$$A = \begin{pmatrix}
2  &  2 & 2\\
3 & 3 & 3  \\ 1 & 1 & 1
\end{pmatrix}$$

Calculons C = A \times  \mathbb{I}_3

$$c_{1,1} =  2 \times 1 + 2 \times 0 + 2 \times 0 =2$$

$$c_{1,2} =  2 \times 0 + 2 \times 1 + 2 \times 0 = 2 $$

$$c_{1,3} =  2 \times 0 + 2 \times 0 + 2 \times 1 = 2 $$

$$c_{2,1} =  3 \times 1 + 3 \times 0 + 3 \times 0 =3$$

Le lecteur pourra calculer les 5 coefficients restants et se rendre compte qu’on obtient bien la matrice de départ.

 

Une propriété particulière

Dans l’ensemble des réels si a \times b = 0 alors a=0 ou b=0. C’est une propriété élémentaire qu’on vous a répétée et répétée. Et bien ce n’est pas le cas dans l’ensemble des matrices. On peut avoir AB=0 tout en ayant A \neq 0 et B \neq 0.

Exemple

$$A = \begin{pmatrix}
2  &  0\\
0 & 0
\end{pmatrix}$$

$$A = \begin{pmatrix}
0  &  0\\
3 & 5
\end{pmatrix}$$

Alors on a bien AB=0 et pourtant A et B sont toutes les deux des matrices non nulles!

Attention donc à ne pas conclure trop vite à la nullité d’une matrice quand on résout une équation

 

À toi de jouer !

Pour maîtriser le calcul matriciel il faut pratiquer, alors à ton tour :

Question : si A est une matrice de taille a,b et B une matrice de taille $c,d$ alors quelles sont les conditions pour que le produit D = BA soit possible et quelle est la dimension de D ?

Réponse : il faut que d=a le résultat a une taille c,b.

 

Question :  calculer A+B ,$latex  A-B$, AB et BA

$$A = \begin{pmatrix}
1  &  4\\
2 & 3
\end{pmatrix}$$

$$B = \begin{pmatrix}
4  &  5\\
-1 & -2
\end{pmatrix}$$

Réponse :

$$A+B = \begin{pmatrix}
5  &  9\\
1 & 1
\end{pmatrix}$$

$$A-B = \begin{pmatrix}
-3  &  -1\\
3 & 5
\end{pmatrix}$$

$$AB = \begin{pmatrix}
0  &  -3\\
5 & 4
\end{pmatrix}$$

$$BA = \begin{pmatrix}
14  &  31\\
-5 & -10
\end{pmatrix}$$

 

Voilà qui conclut ce petit rappel sur le produit matriciel. Pour t’entraîner efficacement en vue de l’épreuve de mathématiques, n’hésite pas à consulter le corrigé du bac de maths S 2018 disponible ici . Le sujet de 2019 est également disponible avec son corrigé ici.

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Etudiante en double diplôme, j'ai fais une prépa MPSI/PSI* avant d'intégrer l'ENSTA Paris. J'ai ensuite rejoint HEC.