Les Propriétés des fonctions (périodiques, paires, impaires, convexes et concaves)

Lorsque l’on étudie une fonction, on peut regarder si elle vérifie un certain nombre de propriétés susceptibles de fournir des informations utiles. Elles peuvent aussi aider à visualiser la situation ou encore permettre de simplifier des calculs. Dans cet article, on s’intéresse aux propriétés des fonctions périodiques, paires, impaires, convexes et concaves. Pour chacune d’entre elles, on donne leur définition ainsi que des exemples et des interprétations graphiques.

 

Fonctions périodiques

Définition : Soit T>0. Une fonction f définie sur un domaine D est périodique de période T si pour tout x ∈ D, f(x+T) = f(x).

Exemples : Les fonctions sinus et cosinus sont périodiques de période 2π. La fonction tangente est périodique de période π. La fonction constante égale à 1 est périodique de période 36,7.

Remarque : Si f est une fonction périodique de période T, alors elle est périodique de période 2T. En effet, pour tout x ∈ D, on a alors f(x+2T) = f(x+T+T) = f(x+T) = f(x). De même, f est alors périodique de période 3T, 4T, 17T…

Exercice : Soit f une fonction périodique de période T. Démontrer que pour tout n ∈ N, f est périodique de période nT. [Indication : Faire une démonstration par récurrence !]

 

Le plus intéressant est souvent de regarder (quand il existe) le plus petit T tel que pour tout x ∈ D, f(x+T) = f(x). On dit parfois qu’un tel T est la “période minimale” de la fonction f. Cette période minimale est alors la largeur du plus petit motif qui se répète dans la courbe représentative de la fonction.

Exemple : Comme on peut le voir dans les graphes ci-dessous, la période minimale de la fonction cosinus est 2π, et la période minimale de la fonction tangente est π. On met en rouge dans chacun des graphes ci-dessous le plus petit motif qui se répète.

 

 

En pratique, connaître cette période minimale permet de réduire au maximum le domaine d’étude d’une fonction périodique. En effet, il suffit alors de l’étudier sur une période minimale pour connaitre ses propriétés sur tout son domaine de définition.

Attention ! La période minimale n’existe pas toujours ! Par exemple, la fonction f constante égale à 1 n’admet pas de période minimale. En effet, raisonnons par l’absurde et imaginons qu’il existe un T>0 tel que T soit la période minimale de f. Alors pour tout x ∈ R, f(x+T/2) = 1 = f(x). Donc T/2 est aussi une période de f, mais T/2 < T : contradiction (T n’est pas la période minimale). Donc il n’existe pas de période minimale pour la fonction constante égale à 1.

 

Exercice : En exploitant les propriétés de périodicité des fonction sinus et cosinus, calculer cos(19π/3) et sin(35π/4).

Corrigé :

 

Propriétés des fonctions paires

Définition : Une fonction f définie sur R est paire si, pour tout x ∈ R, f(-x) = f(x).

Exemples : La fonction cosinus est paire, la fonction f(x) = x² également.

Interprétation graphique : Le graphe d’une fonction paire admet l’axe des ordonnées comme axe de symétrie.

 

 

En pratique, savoir qu’une fonction est paire permet de réduire son domaine d’étude : il suffit de l’étudier sur R+ pour connaitre ses propriétés sur R tout entier.

Exemple : Si une fonction f est paire et croissante sur [a,b] avec 0<a<b, alors par symétrie de sa courbe représentative par rapport à l’axe des ordonnées, elle est décroissante sur [-b,-a].

 

De même, si une fonction f est paire et positive sur [a,b] avec 0<a<b, alors par symétrie de sa courbe représentative par rapport à l’axe des ordonnées, elle est également positive sur [-b,-a] etc.

De plus, savoir qu’une fonction est paire permet également de simplifier des calculs d’intégrales, en exploitant la propriété de symétrie de la courbe.

Exemple :

 

 

Remarquons que cet exemple de calcul d’intégrale ne faisant intervenir que la fonction cosinus n’est pas très intéressant car on connait une primitive du cosinus. Il serait donc possible de calculer directement l’intégrale qui nous intéresse. Toutefois, il faut penser à utiliser les propriétés de symétrie dans des cas plus compliqués – notamment pour des calculs de probabilités avec des variables à densité (variable aléatoire suivant une loi normale centrée réduite par exemple).

 

Propriétés des fonctions impaires

Définition : Une fonction f définie sur R est impaire si, pour tout x ∈ R, f(-x) = – f(x).

Exemples : La fonction sinus est paire, la fonction f(x) = x³ également.

Interprétation graphique : Le graphe d’une fonction paire admet l’origine comme centre de symétrie.

 

 

En pratique, savoir qu’une fonction est impaire permet de réduire son domaine d’étude : il suffit de l’étudier sur R+ pour connaitre ses propriétés sur R tout entier.

Exemple : Si une fonction f est impaire et croissante sur [a,b] avec 0<a<b, alors par symétrie de sa courbe représentative par rapport à l’origine, elle est également croissante sur [-b,-a].

 

 

De même, si une fonction f est impaire et positive sur [a,b] avec 0<a<b, alors par symétrie de sa courbe représentative par rapport à l’axe des ordonnées, elle est négative sur [-b,-a] etc.

De plus, savoir qu’une fonction est paire permet également de simplifier des calculs d’intégrales, en exploitant la propriété de symétrie de la courbe. En effet, pour tout a>0, l’intégrale d’une fonction impaire entre -a et a est nulle.

Exemple :

 

 

Propriétés des fonctions convexes

Définition : Une fonction f définie et deux fois dérivable sur un domaine D est convexe sur D si, pour tout x ∈ D, f ”(x) ≥ 0. On dit que f est strictement convexe sur D si pour tout x ∈ D, f ”(x) > 0.

Exemples : La fonction exponentielle est strictement convexe sur R. La fonction f(x)=x³ est convexe sur R+ (mais pas sur R tout entier !) et strictement convexe sur R+*. La fonction f(x) = x est convexe sur R, mais pas strictement convexe.

 

Rappel : Soit f une fonction définie, continue et dérivable sur un domaine D. La tangente à f en un point a de D est la droite passant par le point (a,f(a)) et de coefficient directeur f'(a). Elle admet pour équation y = f'(a) (x-a) + f(a).

 

Rappel : Soit f une fonction définie sur un domaine D. La corde de la fonction f entre deux points a et b de D est le segment [A,B] avec A(a,f(a)) et B(b,f(b)).

 

Interprétation graphique : La courbe représentative d’une fonction convexe est au-dessus de ses tangentes et en-dessous de ses cordes.

 

 

Propriétés des fonctions concaves

Définition : Une fonction f définie et deux fois dérivable sur un domaine D est concave sur D si, pour tout x ∈ D, f ”(x) ≤ 0.On dit que f est strictement concave sur D si pour tout x ∈ D, f ”(x) < 0.

Exemples : La fonction logarithme est concave sur R+* . La fonction f(x)=x³ est concave sur R- et strictement concave sur R-*. La fonction f(x) = (3-x) est concave sur R mais pas strictement concave.

Interprétation graphique : La courbe représentative d’une fonction concave est en-dessous de ses tangentes et au-dessus de ses cordes.

 

 

Si tu souhaite revoir d’autres notions en mathématiques, nous de conseillons notre article récent sur les fonctions trigonométriques.

 

Poursuis ta lecture sur ces sujets

Après une prépa MPSI/MP au lycée Louis le Grand, j'ai intégré le département de Mathématiques de l'ENS de Rennes, où j'ai passé deux ans (L3 et M1).