Toutes les astuces pour résoudre une équation

C’est la question qui revient sans cesse en maths : résoudre une équation ! Trouver la valeur de x qui vérifie certaines conditions. Cependant, il existe plusieurs types d’équations et chacune nécessite sa propre méthode pour être résolue. Vous êtes un peu perdus entre équation du premier degré, équation du second degré, variable réelle ou complexe, il y a une exponentielle dans l’équation comment s’en sortir ?

Pas de panique ! Cet article est fait pour vous. Nous allons revoir pas à pas les différents types d’équations et voir comment s’en sortir sans soucis.

 

Qu’est-ce qu’une équation ?

Une équation est une égalité dans laquelle on recherche une ou plusieurs inconnues. Ces inconnues sont la plupart du temps désignées par des lettres comme x ou y. Ainsi, 2x +3 = 4x +5 est une équation. Ne vous inquiétez pas, nous allons vous montrer comment résoudre une équation dans cet article !

 

Le degré d’une équation

Tout d’abord, rappelons que le degré d’une équation correspond à la plus grande puissance de x qui figure dans l’équation.

2x +3 = 4x +5 est une équation du premier degré.

x^2+2x +3 = 4x +5 est une équation du second degré.

x^5+2x +3 = 4x +5 est une équation de degré 5.

Cependant, soyez rassurés. vous ne devez savoir résoudre que les équations de degré 1 et 2 aussi appelées équations du premier et du second degré.

 

Résoudre une équation du premier degré

Bonne nouvelle, ce sont les plus simples à résoudre ! Rappelons qu’une équation du premier degré où x appartient à l’ensemble des réels admet une seule et unique solution.

Considérons l’équation : 2x +3 = 4x +5.

Pour résoudre cette équation, il faut isoler x. C’est à dire qu’il faut regrouper tous les termes en x d’un côté du signe égal et tous les autres termes de l’autre côté.

Si on isole les termes en x à gauche du signe =, on obtient :

$$ 2x-4x = 5 – 3$$

$$-2x = 2$$

Puis finalement x = -1.

On peut vérifier en remplaçant x par -1 dans l’équation de départ 2x+3 = 2 \times -1 +3 = 1 et 4x+5 = 4 \times -1 +5 = 1.

 

Résoudre une équation du second degré à valeurs réelles

Contrairement aux équations du premier degré, toutes les équations du second degré n’ont pas de solution dans \mathbb{R}.

Par exemple x^2 = -2, n’a pas de solution dans \mathbb{R}.

Une équation du second degré, admet 0, 1 ou 2 solutions dans \mathbb{R}. Ces solutions sont appelées racines du polynôme. 

Considérons l’équation ax^2+bx+c=0.

On commence par calculer son discriminant \Delta = b^2-4ac.

Le nombre de solutions et la valeur des solutions dépend du signe de \Delta.

  • si \Delta > 0 , l’équation admet 2 solutions distinctes x_1 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}  et x_2 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}
  • si \Delta = 0 , l’équation admet 1 racine double x = \frac{-b}{2a}
  • si \Delta < 0 , l’équation n’admet pas de solution dans \mathbb{R}

 

Les équations du second degré à valeurs complexes

Contrairement aux équations du second degré à valeurs réelles, toutes les équations du second degré à valeurs complexes admettent au moins une solution dans \mathbb{C}.

Considérons l’équation az^2+bz+c=0.

On commence par calculer son discriminant \Delta = b^2-4ac.

Le nombre de solution et la valeur des solutions dépend du signe de $\Delta$.

  • si \Delta > 0 , l’équation admet 2 solutions distinctes z_1 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}  et z_2 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}
  • si \Delta = 0 , l’équation admet 1 racine double z = \frac{-b}{2a}
  • si \Delta < 0 , l’équation admet 2 solutions complexes conjuguées z_1 = \frac{-b + i \sqrt{-\Delta}}{2a}  et z_2 = \frac{-b - i \sqrt{-\Delta}}{2a}

 

Résoudre une équation avec e^{2x} et e^{x}

Certaines équations se résolvent comme les équations du second degré. Il suffit de faire un changement de variable dans l’équation de départ pour retrouver une équation du second degré.

Considérons l’équation -2e^{2x}+5e^x+3=0.

Pour retrouver une équation du second degré, il faut poser X=e^x, alors X^2=(e^x)^2=e^{2x}.

L’équation devient : -2X+5X+3=0, notons cette équation (*).

On a bien une équation du second degré, il suffit d’appliquer la méthode vue précédemment.

$$\Delta = b^2-4ac = 5^2-4 \times (-2) \times 3 = 25 + 24 = 49 $$

\Delta >0, on a 2 solutions distinctes.

$$X_1 = \frac{-5 + \sqrt{49}}{-4} = \frac{-1}{2}$$

$$X_2 = \frac{-5 – \sqrt{49}}{-4} =  3$$

Attention, X_1 et X_2, sont les solutions de l’équation (*) et non les solutions de l’équation de départ.

Il faut vérifier que les solutions trouvées sont admissibles.

On a posé X=e^x, or on sait que quel que soit la valeur de x, e^x est strictement positif.

Par conséquent, la solution X_1 = \frac{-1}{2} , n’est pas possible.

La seule solution admissible est X_2 = 3.

Il faut maintenant se ramener à la valeur de x, pour résoudre l’équation de départ.

On a posé X=e^x, donc ln(X) = x.

On en déduit que la seule solution réelle de l’équation de départ est x=ln(3).

Vérifions, -2e^{2x}+5e^x+3 = -2e^{2 \times ln(3)}+5e^{ln(3)}+3

= -2 e^{ln(3^2)} + 5 \times 3 + 3 = -18 +15 +3 = 0

 

Les équations où l’inconnue est en exposant

Il arrive parfois que l’inconnue de l’équation soit en exposant. C’est le cas dans l’équation 2^n = 512.

Ces équations sont très simples à résoudre, s’il on la bonne technique.

Pour résoudre ces équations, il faut se souvenir que ln(a^b) = b ln(a).

Ensuite, appliquons donc la fonction ln à notre équation.  ln(2^n) = ln(512).

En utilisant la propriété du logarithme on obtient n ln(2) = ln(512).

On a donc résolu l’équation. La solution est n= \frac{ln(512)}{ln(2)}= 9.

 

Comment écrire les solutions d’une équation ?

Une fois que vous aurez trouvé la fameuse inconnue, souvent x, il faudra alors écrire une jolie phrase de conclusion pour bien terminer la question. Vous pouvez :

  • Soit écrire littéralement : “la (ou les) solutions(s) de l’équation … sont …”  et là vous listez la (ou les) solution(s) trouvées
  • Soit écrire mathématiquement : “la (ou les) solutions(s) de l’équation … sont S = {…, …} ” et vous listez la (ou les) solution(s) trouvée(s) entre les crochets.

NB : Bien sûr, il ne faut pas écrire “la (ou les)” mais l’un des deux en fonction de la situation dans laquelle vous vous trouvez !

 

Apprenez bien ces méthodes ! Entraînez vous avec des exercices et n’hésitez pas à consulter nos autres fiches d’aide pour le BAC.

Vous pouvez aussi vous entraîner sur des sujets d’annale le sujet/corrigé du bac de maths S 2018 disponible ici . Le sujet de 2019 est disponible avec son corrigé ici.