Tout savoir sur l’intégration de fonctions

Lors des exercices d’étude de fonctions, nous avons vu comment dériver une fonction. Ici nous allons voir quelles sont les règles de l’intégration de fonctions. C’est l’opération inverse de la dérivé ! Comme pour la dérivation, il est important de connaitre les définitions et propriétés de base de l’intégration. Il faut aussi connaître les formules d’intégration pour les fonctions usuelles. Pas de panique si vous n’avez pas tout compris, ou avez quelques petits trous de mémoire, nous allons revoir tout cela dans cet article.

 

Définition de l’intégrale d’une fonction continue

Considérons le plan définit par \mathbb{R^2}, munissons le du repère orthogonal (O, \vec{i}, \vec{j}).

Si f est une fonction continue définie sur l’intervalle [a,b] avec a<b et positive sur cet intervalle alors l’aire définie par

$$ a \leq x \leq b $$

et

$$ 0 \leq y \leq f(x) $$

correspond à l’aire sous la courbe de f entre a et b.

Cette aire est notée \int_{a}^{b} f(x) \, \mathrm{d}x  et s’exprime en unités d’aire souvent abrégées u.a. On lit “intégrale de a à b de la fonction f” ou “intégrale de a à b de f de x dx”. 

Si f est une fonction continue définie sur l’intervalle [a,b] avec a<b et négative, alors l’intégrale de a et b est la même que précédemment mais avec un signe moins.

Si f est une fonction continue définie sur l’intervalle [a,b] on a

\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \, \mathrm{d}x = - \int_{b}^{a} f(x) \, \mathrm{d}x

Lien entre primitives et intégrales

Toute fonction f continue sur un intervalle [a;b] admet une infinité de primitives sur cet intervalle.

Attention, s’il existe une infinité de primitives, il faut dire UNE primitive de f et pas LA primitive de f.

Si F est une primitive de f sur l’intervalle [a;b], alors toutes les primitives de F s’écrivent F+C, C \in \mathbb{R}.

Pour tout a, b \in \mathbb{R}, on a \displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \, \mathrm{d}x = [F(t)]_a^b = F(b) - F(a) .

On notera que la valeur de  \displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \, \mathrm{d}x ne dépend pas de la primitive choisie. En effet si F est une primitive de f et G une autre alors on sait qu’on peut écrire G = F+C avec C une constante . Alors on a G(b)-G(a) = F(b)+C - (F(a)+C) = F(b)+C - F(a)-C = F(b) - F(a).

$latex [F(t)]_a^b $ est appelé accroissement de F entre a et b.

Si f est une fonction continue sur [a;b], alors la fonction F définie par \displaystyle F(x) = \int_{a}^{x} f(t) \, \mathrm{d}t est dérivable et F'=f.

La fonction F est alors la primitive de f qui s’annule en a. 

Propriétés de calcul 

Soient a,b,c \in \mathbb{R}, avec a \leq b \leq c

Soit f une fonction continue sur [a;c].

L’intégrale possède les propriétés suivantes :

  • elle est linéaire, c’est à dire \displaystyle \int_{a}^{b} (\lambda f(x)+g(x)) \, \mathrm{d}x  = \lambda \int_{a}^{b} f(x) \, \mathrm{d}x  + \int_{a}^{b} g(x) \, \mathrm{d}x
  • elle est positive, si f \geq 0 alors \displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \, \mathrm{d}x \geq 0
  • elle est croissante f\leq g alors \displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \, \mathrm{d}x \leq \int_{a}^{b} g(x) \, \mathrm{d}x

La relation de Chasles

La relation de Chasles permet de décomposer une intégrale en plusieurs intégrales. Cela peut permettre de simplifier les calculs.

\displaystyle \int_{a}^{c} f(x) \, \mathrm{d}x = \int_{a}^{b} f(x) \, \mathrm{d}x + \int_{b}^{c} f(x) \, \mathrm{d}x 

Dans cette égalité, l’ordre de a, b et c n’a pas d’importance.

L’inégalité de la moyenne

L’inégalité de la moyenne permet de minorer et de majorer l’intégrale de f sur l’intervalle [a;b], à condition que f soit de signe constant sur cet intervalle !

Si f est une fonction continue sur l’intervalle [a;b] qui admet m pour minorant, et M pour majorant sur cet intervalle alors

\displaystyle m(b-a) \leq \int_{a}^{b} f(x) \, \mathrm{d}x \leq M(b-a) 

Si |f| \leq M alors on a \displaystyle | \int_{a}^{b} f(x) \, \mathrm{d}x | \leq M|b-a| 

Dans cette dernière égalité l’ordre de a et b n’a pas d’importance car on prend la valeur absolue de leur différence.

La valeur moyenne de f sur l’intervalle [a;b] avec a<b est définie par \displaystyle \frac{1}{b-a}\int_{a}^{b} f(t) \, \mathrm{d}t

Fonctions paire, impaire ou périodique

On peut simplifier le calcul d’une intégrale si :

  • f est paire sur l’intervalle [-a;a], \displaystyle \int_{-a}^{a} f(x) \, \mathrm{d}x =2 \int_{0}^{a} f(x) \, \mathrm{d}x  
  • f est impaire sur l’intervalle [-a;a], \displaystyle \int_{-a}^{a} f(x) \, \mathrm{d}x = 0 
  • f est continue sur \mathbb{R} et admet T comme période alors \displaystyle \int_{0}^{T} f(x) \, \mathrm{d}x = \int_{a}^{a+T} f(x) \, \mathrm{d}x

Petites explications de ces propriétés :

Si la fonction f est paire, alors elle est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées, on peut effectivement se contenter de multiplier par 2 l’aire sous la courbe entre 0 et a. Pour rappel f est une fonction paire si pour tout x appartenant à son domaine de définition f(x)=f(-x).

Si la fonction f est impaire, sa courbe représentative est symétrique par rapport à l’origine. L’intégrale entre a et -a est nulle car l’aire comprise entre -a et 0 aura un signe moins alors que celle entre 0 et a aura la même valeur mais avec un signe +.

Pour rappel une fonction est impaire si pour tout x appartenant au domaine de définition f(x)=-f(-x).

 

Primitives usuelles

Voici un tableau récapitulatif des primitives usuelles et de leur domaine de définition.

Il est impératif de le connaître par coeur!

$$\begin{array}{|c|c|c|}
\hline \text { Fonction } & \text { Primitive } & \text { Intervalle } \\
\hline f(x)=a & F(x)=a x & \mathrm{R} \\
\hline f(x)=x & F(x)=\frac{x^{2}}{2} & \mathrm{R} \\
\hline f(x)=x^{n} & F(x)=\frac{x^{n+1}}{n+1} & \mathrm{R} \\
\hline f(x)=\frac{1}{x} & F(x)=\ln x & | 0 ;+\infty[ \\
\hline f(x)=\frac{1}{x^{n}} \quad n \neq 1 & F(x)=-\frac{1}{(n-1) x^{n-1}} & ]-\infty ; 0[\text { ou }] 0 ;+\infty[ \\
\hline f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}} & F(x)= 2 \sqrt{x} & \mathrm{R}_{+}^{*} \\
\hline f(x)=\sin x & F(x)=-\cos x & \mathrm{R} \\
\hline f(x)=\cos x & F(x)= \sin x & \mathrm{R} \\
\hline f(x)=e^{x} & F(x)=e^{x} & \mathrm{R} \\
\hline
\end{array}$$

Pour vous entraîner à l’épreuve de mathématiques, n’hésitez pas à consulter le corrigé du bac de maths S 2018 disponible ici  ou le sujet de 2019  qui est disponible avec son corrigé ici.

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Etudiante en double diplôme, j'ai fais une prépa MPSI/PSI* avant d'intégrer l'ENSTA Paris. J'ai ensuite rejoint HEC.