Tout savoir sur la fonction logarithme

Nous avons vu comment traiter un exercice d’étude de fonction dans cette fiche. Néanmoins, pour réaliser des études de fonctions, encore faut il maîtriser les fonctions de base. C’est pourquoi je vous propose une petite série d’articles qui vous permettront de revoir ces fonctions de base. Ici nous étudierons la fonction logarithme. Elle est définie grâce à la fonction exponentielle, vous trouverez une fiche ici, pour les fonctions sinus et cosinus, il faudra cliquer ici.

Ce qu’il faut maîtriser:

  • la définition du logarithme
  • son domaine de dérivabilité et sa dérivé
  • connaître ses limites

Définition de la fonction logarithme

Commençons par regarder la définition de la fonction logarithme.

\forall x \in ]0; +\infty[, l’équation x=e^y admet une unique solution sur \mathbb{R} appelée logarithme népérien de x.

Il est important de noter que la fonction logarithme n’est définie que sur l’ensemble des réels positifs. Cela vient de la définition de la fonction.

Puisque la fonction est définie par l’équation x=e^y, et que quel que soit le réel y, e^y est positif, on en déduit que x est positif. Et donc que la fonction logarithme n’est définie que sur l’ensemble des réels strictement positifs.

Regardons la courbe représentative de la fonction

Propriétés de la fonction logarithme

En regardant le graphe de la fonction logarithme on peut remarquer quelques propriétés :

  • elle est définie sur ]0; + \infty[
  • elle est croissante sur ]0; + \infty[
  • la fonction est à valeurs positives sur ]1; + \infty[
  • la fonction est à valeurs négatives sur ]0; 1[
  • on a ln(1)=0
  • \lim\limits_{x \rightarrow +\infty} ln(x) = +\infty
  • \lim\limits_{x \rightarrow 0} ln(x) = -\infty

Calcul de la dérivé et tableau de variation

La fonction logarithme est dérivable sur son domaine de définition, c’est à dire ]0; + \infty[.

$$ \forall x \in ]0; + \infty[, (ln(x))’= \frac{1}{x} $$

En regroupant cela avec les propriétés évoquées précédemment, on en déduit le tableau de variation suivant

Tableau de variation de la fonction logarithme

Calculer avec la fonction logarithme

On peut manipuler la fonction logarithme en appliquant les règles suivantes :

  • ln(ab)=ln(a) + ln(b)
  • ln(\frac{1}{b})=-ln(b)
  • ln(a^{\alpha})= \alpha ln(a), avec \alpha \in \mathbb{Q}
  • ln(\frac{a}{b})= ln(a)-ln(b)

Lien entre la fonction exponentielle et la fonction logarithme

La fonction exponentielle et la fonction logarithme sont des fonctions réciproques. C’est à dire qu’on a les égalités suivantes :

$$\forall x \in \mathbb{R}, ln(e^x)=x$$

$$\forall y >0, e(ln^y)=y$$

On peut visualiser ces résultats en regardant les graphiques des 2 fonctions.

La fonction rxponetielle et sa fonction réciproque

Croissances comparées et taux d’accroissement

Certaines croissances comparées sont à connaître par coeur.

Quel que soit n \in \mathbb{N*}.

$$ \lim\limits_{x \rightarrow +\infty} \frac{ln(x)}{x^n} = 0$$

$$ \lim\limits_{x \rightarrow +\infty} \frac{x^n}{ln(x)} = +\infty$$

$$ \lim\limits_{x \rightarrow  0} x^n ln(x) = 0$$

Pour calculer des limites en zéro il faut se souvenir du taux d’accroissement.

$$ \lim\limits_{x \rightarrow 1} \frac{ln(x)}{x-1}= 1$$

$$ \lim\limits_{x \rightarrow 0} \frac{ln(x+1)}{x}= 1$$

Pour vous entraîner à l’épreuve de mathématiques, n’hésitez pas à consulter le corrigé du bac de maths S 2018 disponible ici  ou le sujet de 2019  qui est disponible avec son corrigé ici.

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Etudiante en double diplôme, j'ai fais une prépa MPSI/PSI* avant d'intégrer l'ENSTA Paris. J'ai ensuite rejoint HEC.