Variation et courbes représentatives des fonctions

Voici une fiche sur la variation et les courbes représentatives des fonctions, un des chapitres essentiels du nouveau programme de mathématiques du bac 2021.

Dans cette article, nous allons faire le lien entre le sens de variation d’une fonction dérivable sur un intervalle et le signe de sa fonction dérivée. Nous allons aussi abordé la notion d’extremum d’une fonction.

En amont, nous vous conseillons ainsi de lire l’article traitant de la dérivation.

 

Variation et courbes représentatives des fonctions

Signe de la dérivé et sens de variation

Considérons une fonction f défini et dérivable sur un intervalle I

Nous pouvons résumer le comportement de la croissance de la fonction en fonction du signe de la dérivée dans le tableau ci-après:

Signe de la dérivée f'

(soit x appartenant à I)

Sens de variation de la fonction f
f'(x) >0 f est strictement croissante
f'(x) <0 f est strictement décroissante
f'(x) \le 0 f est décroissante
f'(x) \ge 0 f est croissante

 

Il faut savoir que ces relations sont valables dans les deux sens.

  • Autrement-dit, si f est strictement croissante sur I, alors pour tout x de I on a f'(x) >0.
  • Inversement, si pour tout x de I on a f'(x) >0, alors f est strictement croissante sur I. On a bien une relation d’équivalence.

 

Extremum d’une fonction

Il est important de bien savoir définir la notion d’extremum.

Soit f une fonction défini sur un intervalle I et a un nombre réel de cet intervalle.

  • f admet un maximum en a sur I lorsque, pour tout x appartenant à I, f(x) \le f(a). Le maximum vaut alors f(a) et est atteint en a.
  • f admet un minimum en a sur I lorsque, pour tout x appartenant à I, f(x) \ge f(a). Le minimum vaut alors f(a) et est atteint en a.

D’une manière général, un extremum est toujours soit un maximum soit un minimum.

Il existe néanmoins 3 cas possibles:

  • La dérivée s’annule et change de signe sur I: présence d’un extremum

annulation-dérivée

  • L’extremum est atteint en une borne de l’intervalle : la dérivée ne peut être nulle

extremum-cas2

  • La dérivée s’annule sans changer de signe sur I: absence d’un extremum

extremum-cas3

 

 

Exemple d’étude d’une fonction

Pour étudier une fonction, il est conseillé de suivre les étapes suivantes:

  1. Chercher l’ensemble de définition si il n’est pas donné
  2. Calculer la dérivée en donnant son intervalle de définition
  3. Etudier le signe de la dérivée et faire le lien avec les variations de la fonction
  4. Calculer les extremums éventuels pour compléter le tableau de variation

 

Soit f(x)= \frac{2x-1}{x+3}

L’ensemble de définition est: D=]-∞ ; -3[ \cup ]-3 ; +∞[

En effet, le dénominateur ne peut pas s’annuler sinon la fonction n’est pas défini.

 

La dérivée, comme quotient de deux fonctions est:

notons u(x)=2x-1 ; u'(x)=2 et v(x)=x+3 ; v'(x)=1

Par conséquent d’après la formule: (u/v)'= \frac{u'v - uv'}{v^2}

On a: f'(x)= \frac{7}{(x+3)^2}

 

La dérivée et donc strictement supérieur à zéro sur son ensemble de définition. On en déduit le tableau de variation suivant:

tableau variation

Conclusion

La variation d’une fonction dépend directement du signe de sa dérivée et inversement. Par conséquent, dans les exercices, si l’une des données est connu, il est possible de trouver l’autre grâce aux propriétés vu précédemment.

 

N’hésitez surtout pas à consulter nos autres fiches de mathématiques, notamment notre fiche globale sur les fonctions trigonométriques.

Poursuis ta lecture sur ces sujets