Décrire un mouvement – Bac Physique-Chimie

Décrire un mouvement est un chapitre clé du programme de physique-chimie. Comment peut-on prévoir la trajectoire d’un lancement d’une fusée dans l’espace ? Pourquoi les balles suivent une courbe en cloche ? Tout cela, nous allons l’expliquer dans cet article où nous allons apprendre à décrire un mouvement grâce à des outils mathématiques afin de pouvoir les étudier et prévoir l’évolution d’un système.


La description de la vitesse d’un point


Tout mouvement est relatif à un référentiel et nous nous placerons dans le cas d’un mouvement d’une balle dans le référentiel terrestre.

On représente la position d’un point (qu’on note M) dans le référentiel (d’origine O) par le vecteur: \overrightarrow{OM}. On peut le représenter dans le repère ci-contre.
On a alors la relation suivante pour le vecteur \overrightarrow{OM}:
\overrightarrow{OM}=x . \overrightarrow{i} + y . \overrightarrow{j} + z . \overrightarrow{k}


On appelle la trajectoire du point l’ensemble des positions prises par le point pendant l’étude du mouvement.


Pour détailler la chute de notre balle, il est alors nécessaire d’introduire la notion de vecteur
vitesse. Il s’agit de représenter dans l’espace la vitesse du point.


On a représenté à droite la chronophotographie du mouvement de la balle : cela correspond à la superposition de photos du mouvement prises à des instants différents. Ainsi, le point M0 correspond à la position du point M à l’instant t0, le point M1 à l’instant t1 et ainsi de suite … (dans la représentation, l’intervalle entre t2 et t1 est égal à une seconde).
Le vecteur vitesse d’un point M est alors défini comme la dérivée par rapport au temps du vecteur $latex \vec{OM}. On a construit géométriquement sur le schéma précédent le vecteur vitesse
au point M1 (\vec{V_1}=\frac{\vec{OM_2}-\vec{OM_1}}{t_2-t_1}). On peut ainsi tracer les vecteurs vitesses de chaque point de la représentation du mouvement.


On peut calculer les coordonnées du vecteur vitesse de la manière suivante, sachant qu’on a :


Alors:


On appelle cette écriture de V(t) l’écriture en coordonnées cartésiennes (dans le repère de l’espace en trois dimensions). Pour calculer précisément le vecteur vitesse, il faut alors calculer séparément les dérivées par rapport au temps de chaque coordonnée.


Décrire un mouvement d’accélération d’un point


La vitesse nous donne des informations sur le mouvement mais cela n’est pas suffisant pour
comprendre la forme des trajectoires. De même, lorsque vous êtes en voiture sur l’autoroute, vous avez une “sensation de vitesse” plus importante au démarrage de la voiture et à l’arrivée sur l’autoroute qu’une fois que la vitesse est stabilisée à 110 km/h. Ce ressenti, c’est l’accélération. Il s’agit de la variation de la vitesse. On la définit comme la dérivée temporelle de la vitesse. On l’écrit en coordonnées cartésiennes de la façon suivante:

On peut aussi le voir comme la dérivée seconde (la dérivée de a dérivée) du vecteur position. Et on obtient alors l’écriture suivante en coordonnées cartésiennes.

Pour établir les coordonnées du vecteur d’accélération à partir du vecteur position, il faut alors dériver chaque coordonnée du vecteur position deux fois.


Caractérisation du vecteur accélération


Décrire un mouvement rectiligne uniforme


Dans un référentiel donné, un système a un mouvement rectiligne uniforme si son vecteur vitesse a toujours même direction, même sens et même valeur : il est constant. Son vecteur accélération est alors égal à chaque instant au vecteur nul.

 


Décrire un mouvement rectiligne uniformément accéléré

Dans un référentiel donné, un système a un mouvement rectiligne uniformément accéléré si son vecteur accélération a toujours même direction, même sens et même valeur : il est constant. Son vecteur accélération est alors égal à chaque instant à un même vecteur.

 


Décrire un mouvement circulaire uniforme

Dans un référentiel donné, un système à un mouvement circulaire uniforme si sa trajectoire est une portion de cercle et si la valeur de sa vitesse est constante. Le vecteur accélération est alors centripète (à tout instant il est dirigé vers le centre) et est de valeur constante égale à $latex a=\frac{v^2}{R}.

 


Décrire un mouvement circulaire non uniforme

Dans un référentiel donné, un système a un mouvement circulaire non uniforme si sa trajectoire est une portion de cercle de rayon R et si la valeur de l’accélération n’est pas constante.

A chaque instant, le vecteur accélération peut se décomposer en deux vecteurs:

\vec{a}=\vec{a_N} + \vec{a_T}

Avec \vec{a_N} , l ’accélération normale : elle est centripète et a pour valeur : a_N=\frac{v^2}{R}.
Et a_T , l ’accélération tangentielle: elle est tangente à la trajectoire, orientée dans le sens du
mouvement et a pour valeur : $latex a_T=\frac{dv}{dt}. On détaillera plus précisément cela dans le point suivant sur le repère de Fresnel.

 

N’hésitez pas à consulter nos autre fiches de physique pour avancer dans vos révisions, comme la modélisation de l’écoulement d’un fluide. Bon courage ! 

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