Kit sur les bases de la mécanique

C’est l’un des gros blocs du programme de terminale S : la loi de Newton et la mécanique. On entend par mécanique ici l’étude du mouvement des objets. Ce bloc se compose de plusieurs chapitres :

  • Premièrement, il aborde les définitions de base de la cinématique que nous allons revoir dans cet article
  • Puis viennent les définitions de la dynamique avec l’étude des causes du mouvement et les 3 lois de Newton, puis l’étude d’exemples classiques (chute libre, particule dans un champ de force …)
  • Viennent ensuite les définitions de l’énergie potentielle, cinétique et mécanique et du travail d’une force
  • Enfin, il y a l’étude du mouvement des satellites et des planètes avec les lois de Kepler

Bref, vous l’aurez compris c’est une partie essentielle du programme, vous êtes sûrs et certains qu’elle tombera d’une manière ou d’une autre au bac. De plus, elle a également une place importante dans toutes les filières post-bac qui comprennent de la physique. Alors autant ne pas prendre de retard et commencer dès maintenant à maîtriser ces notions sur le bout des doigts.

 

Les bases de la cinématique

La cinématique, c’est l’étude du mouvement indépendamment de ses causes. Dans un premier temps nous allons commencer par revoir les définitions élémentaires de mécanique.

Tout d’abord, il est primordial de comprendre en mécanique la notion de référentiel et de relativité du mouvement.

 

La notion de référentiel

Considérons une personne qui se trouve dans un train, assise sur son siège. Cette personne est immobile par rapport au train. Cependant, si quelqu’un observe le train depuis le quai alors cette personne sera en mouvement ! La notion même de mouvement dépend en effet de qui l’observe, d’où il l’observe et dépend surtout du référentiel.

Un référentiel, définition essentielle en mécanique, est donc un repère de temps et d’espace qui comprend

  • un repère spatial composé de 3 axes et d’une origine
  • une origine de temps

Il est bon de connaitre 3 référentiels classiques en mécanique :

  • le référentiel terrestre, l’origine est un point à la surface de la Terre
  • le référentiel géocentrique, l’origine est le centre de la Terre
  • le référentiel héliocentrique, l’origine est le centre du soleil

Dans la plupart des exercices, le référentiel vous sera donné. Néanmoins, il peut arriver que ce soit à vous de le choisir. Il faut toujours choisir le référentiel le plus adapté au problème et qui facilitera les calculs. En effet, en fonction du référentiel les calculs seront plus ou moins compliqués. Par exemple, si on lâche un objet à la verticale, on peut se contenter d’un référentiel qui comprend un axe vertical dont l’origine est le point d’où on lâche l’objet. L’origine de temps est l’instant où l’on lâche l’objet.

Certains référentiels ont des propriétés particulières. C’est le cas des référentiels galiléens. Dans un référentiel galiléen, un “corps libre” est en mouvement de translation rectiligne uniforme ou au repos.

 

Les définitions de base de la mécanique

Maintenant que nous avons défini ce qu’est un référentiel, nous pouvons nous attaquer à la cinématique à proprement parler. Commençons par les définitions de base de la mécanique. On se place dans un référentiel où les axes sont nommés (\vec{i},\vec{j}, \vec{k}).

La position en mécanique

On la note souvent \overrightarrow{OM}.

$$\overrightarrow{OM}= x \vec{i} + y \vec{j} + z \vec{k}$$

(x, y, z) sont les coordonnées de l’objet dans le référentiel. Elles servent à positionner l’objet dans le référentiel.

La vitesse en mécanique

Le vecteur vitesse instantanée est égal à la dérivée du vecteur position par rapport au temps.

$$ \vec{v} = \frac{d \vec{OM}}{dt} = v_x \vec{i} + v_y \vec{j} + v_z \vec{k}$$.

Pour passer de la position à la vitesse, il faut donc dériver.

Pour passer de la vitesse à la position, il faut intégrer.

Attention donc à bien maîtriser le chapitre sur le calcul d’intégrales pour vous en sortir en mécanique !

L’accélération en mécanique

Le vecteur accélération instantanée est égal à la dérivée du vecteur vitesse par rapport au temps

$$\vec{a} = \frac{d \vec{v}}{dt} = a_x \vec{i} + a_y \vec{j} + a_z \vec{k}$$

C’est donc aussi la dérivée seconde de la position par rapport au temps en mécanique

$$\vec{a} = \frac{d^2 \vec{OM}}{dt^2} = a_x \vec{i} + a_y \vec{j} + a_z \vec{k}$$

Système isolé ou pseudo isolé en mécanique

On appelle en mécanique, système isolé un objet sur lequel ne s’exerce aucune force. Un système “pseudo isolé” est lui un objet sur lequel la résultante des forces est nulle. On parle aussi de “corps libre”.

Il est très rare d’être dans le cas d’un système isolé. En effet, sur Terre il y a toujours l’action de la gravité. Il n’y a que dans l’espace qu’un système peut être isolé. Sur Terre, on est dans le cas de système pseudo isolé. Par exemple, quand mon livre est posé sur la table, c’est un corps libre. L’action de la gravité (qu’on appelle son poids) est compensée par la réaction du support.

La quantité de mouvement en mécanique

Si un point matériel a une masse $m$ et une vitesse \vec{v}, on définit son vecteur quantité de mouvement par \vec{p}= m \vec{v}.

La quantité de mouvement est une quantité vectorielle en mécanique !

Une analyse dimensionnelle nous montre qu’il s’exprime en kg.m.s^{-1}

Les vecteurs \vec{p} et \vec{v} sont donc colinéaires et de même sens.

Si un système est constitué de N points matériels la quantité de mouvement du système est égale à la somme des quantités de mouvement de chaque point.

$$\vec{p_{tot}}= \sum_{i=1}^N \vec{p_i}$$

Exemple d’exercice avec la quantité de mouvement

On considère le système S (supposé pseudo isolé) constitué par un tireur, sa carabine et la balle. Lors du tir on peut décomposer le système en deux sous-systèmes : le sous-système A {tireur + carabine} et le sous-système B {la balle}. On note \overrightarrow{p_A} (respectivement \overrightarrow{p_B}) la quantité de mouvement de A (respectivement de B).

Données : m_S = 80 kg ; m_A = 80 kg ; m_B = 8,0 g ; v_B = 3000 km.h^{-1}; 24 \times 36 = 8,7 x 10^2 ; \frac{24}{36}=0.67; \frac{36}{24}=1.5

Pour les 4 affirmations suivantes, dire si elles sont vraies ou fausses :

a) La quantité de mouvement \overrightarrow{p_S} de S se conserve.
b) Après le tir, on a \overrightarrow{p_A}=\overrightarrow{p_B}.
c) La valeur de \overrightarrow{p_B}, après le tir, est de 87 \text{ }kg.m.s^{-1}.
d) Le tireur est repoussé vers l’arrière avec une vitesse de 0,3 km.h^{-1}.

Correction :

a)  Vrai,  c’est la propriété que l’on vient de voir : le système est pseudo isolé donc il y a conservation de la quantité de mouvement.

b)  Faux

Puisqu’il y a conservation de la quantité de mouvement on a \overrightarrow{p_{initial}}= \overrightarrow{p_{final}}=0. Or on a

$$\overrightarrow{p_{initial}}= \overrightarrow{0}$$

et $$\overrightarrow{p_{final}}= \overrightarrow{p_A}+\overrightarrow{p_B}$$

Donc \overrightarrow{p_A}=-\overrightarrow{p_B}.

c) Faux, on a \overrightarrow{p}= m \times \overrightarrow{v} = 8.0 \times 10^{-3} \times \frac{3000}{3.6} = 6.67 kg.m.s^{-1}

Attention aux conversions d’unités !

d) Vrai, on a \overrightarrow{p_A}=-\overrightarrow{p_B} donc v_A=-\frac{m_B \times v_B}{m_A}=1.08 m.s^{-1}=0.3 km.h^{-1}.

Voilà qui conclut cet exercice. Il est très important de savoir le refaire sans regarder la correction. Ce sont en effet les 4 questions classiques sur la quantité de mouvement. L’écriture de l’équation de conservation de la quantité de mouvement \overrightarrow{p_{initial}}= \overrightarrow{p_{final}} permet très souvent de déterminer une des vitesses finales !

 

C’est tout pour ce petit récapitulatif des notions de base de mécanique !

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Etudiante en double diplôme, j'ai fais une prépa MPSI/PSI* avant d'intégrer l'ENSTA Paris. J'ai ensuite rejoint HEC.