Modéliser l’écoulement d’un fluide

Voici la fiche ultime qui récapitule tout ce qu’il faut savoir sur un chapitre clé du programme de Physique-Chimie : “Modéliser l’écoulement d’un fluide.”

 

Modéliser l’écoulement d’un fluide : poussée d’Archimède

Un corps immergé dans un fluide est soumis sur toute sa surface externe à l’action des forces pressantes. Si on considère un cube immergé, les forces sur les bords verticaux se compensent intuitivement. Cependant, en considérant le principe fondamental de la statique des fluides, la force sur la face supérieure ne compense pas celle sur la face inférieure. Il en résulte une poussée vers le haut (il y a une plus grande pression « en dessous » de l’objet qu’au-dessus).

On calcule la force issue de la poussée d’Archimède de la manière suivante : il s’exerce sur le solide une poussée verticale qui correspond au poids du fluide déplacé.

On a donc la forme vectorielle suivante : (on note habituellement \vec{\Pi} la poussée d’Archimède):

\vec{\Pi}=-\rho_f V \vec{g}

Avec \rho_f la masse volumique du fluide déplacé, V le volume immergé et \vec{g} le vecteur de poids.

La force a pour point d’application le centre de masse du volume immergé.

 

Modéliser l’écoulement d’un fluide : écoulement d’un fluide en régime permanent

Débit volumique d’un fluide incompressible

Un écoulement en régime permanent est caractérisé par un vecteur vitesse du fluide au point M indépendant du temps. Si on considère une surface S traversée par le fluide, le débit volumique est le volume de fluide qui passe à travers cette surface pendant l’unité de temps .

Il s’exprime en m^3 s^{-1}

On a la relation D=v \times S

La conservation du débit volumique permet d’écrire l’égalité du débit à travers différentes sections d’un conduit.

On a donc : D_A=D_B
Et donc : S_Av_A=S_Bv_B

Modéliser l'écoulement d'un fluide
Coupe d’un tuyau de sections A et B

 

Modéliser l’écoulement d’un fluide : relation de Bernoulli

La relation de Bernoulli s’applique à des fluides parfaits (on néglige les effets de viscosité et de dissipation thermique), stationnaire (écoulement permanent), incompressible et homogène (masse volumique du fluide identique en tout point). (PSIH pour s’en souvenir). Elle traduit la conservation de l’énergie dans un fluide sur une ligne de courant (une ligne qui traverse le fluide).

On a alors la relation suivante sur une ligne de courant :

\frac{P}{\rho}+gz+\frac{v^2}{2}=constante

On trouve dans la relation les termes \frac{P}{\rho} dérivé des forces pressantes, \frac{v^2}{2} dérivé de l’énergie cinétique, gz dérivé de l’énergie potentielle de pesanteur.

L’exploitation de la relation de Bernoulli permet de déterminer un paramètre à un endroit sur la ligne de courant en ayant les informations à un autre endroit.

Application : On cherche à déterminer le débit de sortie d’une cuve percée. On note h la hauteur de l’eau, S la surface de la cuve et s la surface du trou.

Résolution :

On se place sur une ligne de courant entre la surface et la sortie de la cuve. On note A le point de la surface et B le point à la sortie.

On applique alors la relation de Bernoulli de la manière suivante :

\frac{P_A}{\rho}+gz_A+\frac{v_A^2}{2}=\frac{P_B}{\rho}+gz_B+\frac{v_B^2}{2}

On a $latex P_A=P_B=P_{atmospherique}

On considère que v_A=0 car la fuite se fait très lentement.

On a donc : v_B=\sqrt{2g(z_A-z_B)}

On appelle cette formule la relation de Torricelli.

 

Modéliser l’écoulement d’un fluide : effet Venturi

Un peu de physique : comment la pression évolue si les molécules sont accélérées dans un tuyau ? La pression diminue ! Le fait d’accélérer le fluide fait que microscopiquement les molécules rentrent moins en collision avec les parois. On peut d’ailleurs le montrer avec la relation de Bernoulli.

Prenons l’exemple suivant : un tuyau qui se rétréci dans une courbure.

Modéliser l'écoulement d'un fluide - 2

La section A est de surface S_A et la section B est de surface S_B. On utilise la relation de Bernouilli sur une ligne de courant qui traverse les deux sections :

\frac{P_A}{\rho}+gz_A+\frac{v_A^2}{2}=\frac{P_B}{\rho}+gz_B+\frac{v_B^2}{2}

On considère que tout se passe à la même hauteur, on a donc z_A=z_B

D’où :

\frac{P_A}{\rho}+\frac{v_A^2}{2}=\frac{P_B}{\rho}+\frac{v_B^2}{2}

Or par conservation du débit volumique :

D_A=D_B

Donc :

S_Av_A=S_Bv_B

d’où P_B=P_A+\frac{v_A^2-v_B^2}{2}\times \rho

et donc : P_B-P_A=\frac{\rho v_A^2}{2}\times (1 - \frac{S_A^2}{S_B^2})

Or S_A>S_B

Donc P_B-P_A<0

Donc P_B < P_A

On obtient ainsi le résultat que lorsqu’un tuyau rétrécit la pression dans le tuyau diminue. Cela se comprend physiquement en prenant en compte l’augmentation de la vitesse au niveau du rétrécissement: les molécules d’eau sont plus rapides et rentrent moins en collision avec la paroi du tuyau à cet endroit.

 

A retenir : 

La formule vectorielle de la Poussée d’Archimède : \vec{\Pi}=-\rho_f V \vec{g}

La formule de Bernoulli : \frac{P}{\rho}+gz+\frac{v^2}{2}=constante sur une ligne de courant

La résolution de problème d’écoulement de fluide s’effectue principalement en appliquant la formule de Bernoulli puis en négligeant certains termes par rapport à d’autres. 

 

N’hésitez pas à consulter les autres fiches en Physique-Chimie pour continuer vos révisions !

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