Dans cette partie, nous allons essayer de présenter des méthodes et outils vous permettant de déterminer la vitesse d’un mécanisme. Cet article s’inscrit dans la démarche de modélisation d’un produit existant dans l’optique de prévoir ses performances. En effet, l’enjeu de ce chapitre, comme des sciences de l’ingénieur en général, est de modéliser le comportement d’un produit/système complexe réel afin de clarifier son fonctionnement d’une part, mais aussi pour prévoir les performances de ce dernier. On entend par performance, l’efficience du système à remplir la tâche pour laquelle il a été conçu. Dans cet article, nous allons nous intéresser à déterminer une performance particulière du mécanisme: la vitesse. Les objectifs du chapitre sont alors de prendre connaissance des méthodes existantes et utilisées dans la vie courante pour déterminer la vitesse d’un mécanisme.

 

Présentation de la notion de vitesse

Différents types de vitesse

La vitesse quantifie un espace parcouru en une durée, un intervalle de temps. Pour rappel, le vecteur vitesse correspond à la dérivé première par rapport au temps du vecteur position. 

Il existe 2 principaux types de mouvement : les mouvements circulaires et les mouvements rectilignes. En conséquence, la vitesse peut se calculer de 2 différentes manières.

 

La vitesse rectiligne

On se place dans la situation d’un mouvement rectiligne uniforme. L’objet se déplace suivant une droite. Si l’on note x la position de l’objet sur la droite, la vitesse du point est donc :

$$V(x) = \frac{dx}{dt}$$

 

La vitesse angulaire

On se place cette fois-ci dans la situation d’un mouvement circulaire uniforme. L’objet tourne autour d’un axe.

En notant theta l’angle de l’objet par rapport à l’horizontal du repère, la vitesse angulaire est donné par la relation.

$$\dot{\theta} = \frac{d\theta}{dt}$$

 

Exemples et mise en situations

Exemple de la voiture se déplaçant sur un sol plat à vitesse constante

 

vitesse 1

Comme vous le décrit le schéma ci-dessus, dans le cas de la voiture, la vitesse est rectiligne et vaut :

$$V(x) = \frac{dx}{dt}$$

 

Exemple de la roue de voiture

En considérant la roue de voiture, l’arbre de la roue va tourner à une vitesse angulaire équivalente à $$\dot{\theta} = \frac{d\theta}{dt}$$

Néanmoins, comme le montre le schéma suivant :

vitesse roue de voiture

La vitesse du point de contact entre la roue et le sol, noté A ici, va être égale à :

$$V = R \frac{d\theta}{dt}$$

Les formules à retenir

Il est possible de calculer un vecteur vitesse grâce à différentes manières. Nous allons vous présenter les principales formules à retenir.

Ces dernières sont utiles lorsque la vitesse doit être calculée dans un repère d’étude différent, ou lorsque l’on doit calculer la vitesse d’un point et que l’on connaît la géométrie de la pièce ainsi que la vitesse d’un autre point.

formules
Ce sont des égalités vectorielles où le vecteur introduit oméga, correspond au vecteur rotation de l’objet. Autrement dit, cela correspond à sa vitesse de rotation angulaire.

Bien que ces formules soient très utiles, les calculs sont parfois compliqués par rapport à la complexité de l’exercice et de la géométrie du mécanisme. C’est pour cela que des méthodes de résolution graphique existent pour déterminer plus facilement la vitesse d’un mécanisme.

 

La cinématique graphique

On parle de cinématique graphique, quand il est possible de déterminer le champ de vecteur vitesse grâce à des méthodes graphiques, c’est-à-dire non analytique ou encore ne faisant pas intervenir de calcul.

 

Rappel champ de vecteur

On appelle champ de vecteur l’ensemble des vecteurs associés à des points de l’espace. Par exemple, la gravité correspond à un champ de vecteur vertical dont le sens des vecteurs est orienté du haut vers le bas.

 

Ci-après, les 2 méthodes principales pour déterminer des champs de vecteurs vitesse par méthode graphique :

cinématique graphique

Détermination d’un champ de vecteur vitesse par méthode d’équiprojectivité

 

Cette méthode, très pratique, nécessite de connaître au moins l’une des deux vitesses des points A et B.

A partir de là, il est très facile de trouver la vitesse de l’autre point en connaissant la géométrie du mécanisme. Néanmoins, il faut faire attention au fait qu’il faut connaître en plus d’une vitesse complète d’un point (direction et norme) il faut aussi connaître la direction au moins de l’autre vecteur vitesse du point dont on cherche à connaître la norme.

 

La méthode détaillée (on suppose que la vitesse du point B est connue et que l’on cherche à tracer le vecteur vitesse du point A en connaissant déjà sa direction):

  • Tracer la droite (AB)
  • Tracer la perpendiculaire à la droite (AB) passant par l’extrémité du vecteur vitesse VB
  • Mesurer la distance entre le point d’intersection de la perpendiculaire précédente avec la droite (AB) et le point B
  • Reporter cette distance en partant du point A sur la droite (AB)
  • Tracer la perpendiculaire à la droite (AB) passant par le point nouvellement tracé distant de A.
  • L’intersection de la perpendiculaire avec la direction d’application du vecteur vitesse de A permet d’avoir la norme du vecteur.

Détermination d’un champ de vecteur vitesse par la méthode du CIR

 

Cette méthode est utilisée lorsque le mouvement étudié est un mouvement de rotation.On cherche encore à déterminer la norme du vecteur vitesse des points A en supposant que le vecteur vitesse du point B est entièrement connu et que seule la direction de A est connue.

 

Méthode détaillé :

  • Tracer la perpendiculaire passant par A à la direction du vecteur vitesse du point A
  • Tracer la perpendiculaire passant par B à la direction du vecteur vitesse du point B
  • Les deux perpendiculaires se coupent alors en un point noté I. En théorie, graphiquement ce point correspond au point fictif autour duquel le solide (et donc les points A et B) tourne.
  • On aligne le point B sur la droite (AI), par un compas on trace le cercle de centre I et de rayon [IB]. Le point d’intersection de ce cercle avec (AI) est le nouveau point B
  • On trace enfin la droite passant par I et l’extrémité du vecteur VB.
  • L’intersection de cette droite et la direction du vecteur vitesse VA nous permet d’obtenir la norme !

 

Sujet du bac analysé

Prenons l’exemple du sujet suivant :

sujet bac si

question sujet bac si

 

Réponse à la question

En utilisant les formules de Varignon avec le point de contact de chaque roue avec le sol on a :

 

Conclusion

En conclusion, la vitesse est un élément important de la cinématique. Cela permet de traduire numériquement le déplacement d’un objet. Il est possible de calculer la vitesse d’un point de différentes manières: analytiquement en utilisant les formules, géométriquement en utilisant les méthodes présentées plus haut.